[论文解读] Simply Connected Manifolds with Infinitely Many Toric Contact Structures and Constant Scalar Curvature Sasaki Metrics

Charles P. Boyer, Christina W. Tønnesen-Friedman|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 9

一句话总结

该论文通过Sasaki流形的连接构造，构建了具有无限多个非等价的Reeb型toric接触结构的单连通奇数维流形。证明了这些流形存在一个常标量曲率（CSC）Sasaki度量射线族，且当 $ l_2 $ 足够大时，至少存在三条此类射线，展示了尽管接触结构无限，但同调环同构下微分同胚类型却表现出罕见的有限性。

ABSTRACT

We study a class of simply connected manifolds in all odd dimensions greater than 3 that exhibit an infinite number of toric contact structures of Reeb type that are inequivalent as contact structures. We compute the cohomology ring of our manifolds by using the join construction for Sasaki manifolds and show that all such contact structures admit a ray of compatible Sasaki metrics of constant scalar curvature (CSC). Furthermore, infinitely many such structures admit at least 3 rays of constant scalar curvature Sasaki metrics.

研究动机与目标

• 构建具有无限多个非等价Reeb型toric接触结构的单连通奇数维流形。
• 确定具有同构同调环的此类流形是否仅有有限多个微分同胚类型。
• 分析这些流形的Sasaki锥中常标量曲率（CSC）Sasaki度量射线的存在性与数量。
• 在toric接触几何与连接构造的背景下，拓展对极值及CSC Sasaki度量的理解。

提出的方法

• 使用连接构造，从Wang–Ziller流形与加权球面 $ S^3_{f w} $ 的乘积构造Sasaki流形，参数为整数 $ l_1, l_2, w_1, w_2 $。
• 通过将Leray–Serre谱序列应用于连接的纤维结构，计算同调环，得到特定表示：$ H^*(M, Z) \to \nZ[x,y]/(w_1w_2l_1^2x^2, x^{p+1}, x^2y, y^2) $。
• 通过研究Sasaki锥及其子锥，特别是被约化的 $ \bf w $-Sasaki锥 $ \tilde{\frak{t}}_{\bf w} $，分析CSC Sasaki度量的存在性，证明该子锥被极值Sasaki度量填满。
• 通过分析由极值条件导出的六次多项式 $ f(b) $ 的根，利用正性与判别式条件确认存在多个正实根，从而确定CSC射线的数量。
• 应用Descartes符号法则与三次因子 $ g(b) $ 的判别式分析，确定存在三个不同正实根的条件，表明存在三条CSC射线。
• 通过证明在固定 $ l_1, w_1, w_2 $ 时，尽管接触结构无限，但仅有有限多个微分同胚类型，确立了拓扑上的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单连通奇数维流形是否可以拥有无限多个非等价的Reeb型toric接触结构，且同调环同构？
• RQ2 同调环是否决定此类流形的微分同胚类型，或者在相同同调环下是否可能存在无限多个不同的微分同胚类型？
• RQ3 单个toric接触结构的Sasaki锥中，可以存在多少条常标量曲率（CSC）Sasaki度量射线？
• RQ4 在何种条件下Sasaki锥包含多于一条CSC度量射线，且这些度量是正则还是非正则的？
• RQ5 连接构造能否产生具有非平凡拓扑与多条CSC射线的流形，同时在固定同调数据下保持微分同胚类型的有限性？

主要发现

• 对每个奇数维 $ 2p+3 > 5 $，存在可数无穷多个单连通的toric接触流形 $ M_{l_1,l_2,\bf w} $，其同调环同构于 $ \nZ[x,y]/(w_1w_2l_1^2x^2, x^{p+1}, x^2y, y^2) $，但对固定的 $ l_1, w_1, w_2 $，仅有有限多个微分同胚类型。
• 这些流形具有 $ p+2 $ 维的Sasaki锥，其中包含一个被极值Sasaki度量填满的二维子锥 $ \tilde{\frak{t}}_{\bf w} $。
• 当 $ l_2 $ 足够大时，Sasaki锥中至少包含三条常标量曲率（CSC）Sasaki度量射线，其中大多数为非正则的。
• 当 $ p=1 $ 时，若 $ w=(3,2), l_1=1 $，且 $ l_2 \to 19 $，三次因子 $ g(b) $ 的判别式为正，得到一个有理根与两个无理根，对应一条准正则与两条非正则的CSC射线。
• 当 $ p \to 1,2,3,4 $ 且 $ l_2 \to 6,3,2,2 $ 时，流形 $ S^2 \times S^{2p+1} $ 与 $ S^2 \tilde{\times} S^{2p+1} $ 至少存在两条CSC Sasaki度量射线。
• 7维流形 $ M^{1,1}_{{\bf k},{\bf l},{\bf w}} $ 的同调环为 $ \nZ[x,y,u,z]/(x^2, l_2xy, w_1w_2l_1^2y^2, z^2, u^2, zu, zx, ux, uy) $，该流形可能为非形式的，表明在广义连接构造情形下，此类有限性定理不适用。