[论文解读] Simply Explicitly Invertible Approximations to 4 Decimals of Error Function and Normal Cumulative Distribution Function

Alessandro Soranzo, Emanuela Epure|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Numerical Methods and Algorithms被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新的显式可逆误差函数 erf(x) 近似方法，其绝对误差 <2.27×10⁻⁵，相对误差 <1.21×10⁻⁴（对所有 x ≥ 0），相较于 Winitzki 的先前方法，绝对误差降低了约 5.5 倍。该方法采用有理函数指数形式，嵌入平方根表达式中，可通过双二次方程求解实现闭式反演，并可扩展至正态累积分布函数 Φ(x)、互补误差函数 erfc(x) 和 Q 函数的近似，精度达四位小数。

ABSTRACT

We improve the Modified Winitzki's Approximation of the error function $erf(x)\cong \sqrt{1-e^{-x^2\frac{\frac{4}π+0.147x^2}{1+0.147x^2}}}$ which has error $|\varepsilon (x)| &lt; 1.25 \cdot 10^{-4}$ $\forall x \ge 0$ till reaching 4 decimals of precision with $|\varepsilon (x)| &lt; 2.27 \cdot 10^{-5}$; also reducing slightly the relative error. Old formula and ours are both explicitly invertible, essentially solving a biquadratic equation, after obvious substitutions. Then we derive approximations to 4 decimals of normal cumulative distribution function $Φ(x)$, of erfc$(x)$ and of the $Q$ function (or cPhi).

研究动机与目标

• 改进 Winitzki 的误差函数 erf(x) 近似方法，以实现四位小数精度。
• 将绝对误差从 1.25×10⁻⁴ 降低至 2.27×10⁻⁵ 以下，同时保持显式可逆性。
• 推导互补误差函数 erfc(x)、正态累积分布函数 Φ(x) 和 Q 函数（cPhi）的类似近似，精度达四位小数。
• 通过代换后化为双二次方程，确保所有近似保持显式可逆。
• 在 x ≥ 0 的整个定义域内验证误差界，包括 x > 4 时的渐近行为。

提出的方法

• 提出一种新的有理函数指数形式：exp(-(a x² + b x⁴)/(1 + c x² + d x⁴))，以改进 erf(x) 的近似。
• 采用变换 erf(x) ≈ √(1 - exp(E(x)))，其中 E(x) = (-1.2735457x² - 0.1487936x⁴)/(1 + 0.1480931x² + 0.0005160x⁴)。
• 通过 Mathematica 生成的图像及放大子区域，对 0 ≤ x ≤ 4 的区域进行解析比较，建立误差界。
• 证明当 x > 4 时，erf(x) 和近似值 η(x) 均趋近于 1，且 |1 - erf(x)| < 10⁻⁷，|1 - η(x)| < e⁻¹²，因此组合误差 < 10⁻⁵。
• 通过调整系数，将 erf(x) 公式缩放以推导 Φ(x) 和 Q(x) 的近似：Φ(x) ≈ ½ + ½√(1 - exp(E'(x)))，其中 E'(x) 使用一半的 x⁴ 系数和加倍的分母常数。
• 通过代换 z = x²，将所有近似化为双二次方程求解，确保显式可逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以改进 Winitzki 的 erf(x) 近似方法，使其在保持显式可逆性的前提下实现四位小数精度？
• RQ2 对有理函数指数中的系数进行何种调整，可使绝对误差降低 5.5 倍？
• RQ3 如何系统地将改进后的 erf(x) 近似扩展至 Φ(x)、erfc(x) 和 Q(x)，并保持相近的精度？
• RQ4 哪些解析与数值技术可严格界定在整个定义域 x ≥ 0（包括 x > 4 的尾部区域）的误差？
• RQ5 在保持计算简便性和可逆性的前提下，相对误差可被降低到何种程度？

主要发现

• 新 erf(x) 近似在所有 x ≥ 0 下实现绝对误差 <2.27×10⁻⁵，相比 Winitzki 的 1.25×10⁻⁴ 提高了 5.5 倍。
• 相对误差降低至 <1.21×10⁻⁴，表明在整个定义域内均保持一致的改进。
• Φ(x) 的近似实现绝对误差 <1.14×10⁻⁵，可实现正态累积分布函数的四位小数精度。
• Q 函数和 erfc(x) 的近似分别实现绝对误差 <2.27×10⁻⁵ 和 <1.14×10⁻⁵，精度相当。
• 所有近似均可通过代换 z = x² 后求解双二次方程实现显式可逆。
• 当 x > 4.125 时，近似 erf(x) ≈ 1 的绝对误差低于新公式，但新公式在过渡区域仍保持有效且准确。