[论文解读] Simulating bridges using confluent diffusions

Paul A. Jenkins, Murray Pollock+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文提出了一种精确的、线性时间的马尔可夫链蒙特卡洛算法，用于通过合流扩散过程模拟遍历扩散过程的桥接。通过结合ε-强布朗运动模拟、路径空间拒绝采样以及简单的扩散桥方法，该方法实现了无偏采样，计算成本与桥接持续时间呈线性关系，并提供了轨迹极值的界，相较于现有方法在长时域设置下表现更优。

ABSTRACT

Diffusions are a fundamental class of models in many fields, including finance, engineering, and biology. Simulating diffusions is challenging as their sample paths are infinite-dimensional and their transition functions are typically intractable. In statistical settings such as parameter inference for discretely observed diffusions, we require simulation techniques for diffusions conditioned on hitting a given endpoint, which introduces further complication. In this paper we introduce a Markov chain Monte Carlo algorithm for simulating bridges of ergodic diffusions which (i) is exact in the sense that there is no discretisation error, (ii) has computational cost that is linear in the duration of the bridges, and (iii) provides bounds on local maxima and minima of the simulated trajectory. Our approach works directly on diffusion path space, by constructing a proposal (which we term a confluence) that is then corrected with an accept/reject step in a pseudo-marginal algorithm. Our method requires only the simulation of unconditioned diffusion sample paths. We apply our approach to the simulation of Langevin diffusion bridges, a practical problem arising naturally in many situations, such as statistical inference in distributed settings.

研究动机与目标

• 开发一种扩散桥接的精确模拟方法，以避免时间离散化方法固有的离散化误差。
• 在桥接持续时间上保持计算效率，实现线性缩放，与成本呈指数增长的方法形成对比。
• 为模拟轨迹的局部极大值和极小值提供几乎必然的界，从而实现路径相关量的精确计算。
• 实现长持续时间桥接的高效模拟，特别是对于远距离端点，其中现有方法性能下降。
• 通过高效桥接采样统一多个数据源，支持分布式推断，构建一致的贝叶斯模型。

提出的方法

• 该方法通过模拟两条无条件扩散路径（一条从起点出发，一条从终点出发）构造一个提议路径——称为‘合流’——并在一个随机交叉时间点将它们拼接。
• 合流路径被用作伪边缘MCMC算法中的提议，其接受/拒绝步骤基于路径空间拒绝采样。
• 该算法依赖于布朗运动的ε-强模拟，以生成具有几乎必然极值界的确切样本路径。
• 它整合了Bladt与Sørensen提出的简单扩散桥方法，该方法仅使用无条件扩散模拟，从而保持线性时间计算缩放。
• 拒绝步骤通过校正提议以匹配目标桥测度，确保了精确性，且无离散化误差。
• 该方法通过直接在连续路径上操作的路径空间拒绝采样器实现，避免了时间上的近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种精确的扩散桥接模拟方法，使其计算成本与桥接持续时间保持线性关系？
• RQ2 如何将路径空间拒绝采样与基于合流的提议相结合，以同时实现精确性和高效性？
• RQ3 该方法能否在不引入近似的情况下，为模拟轨迹的局部极值提供几乎必然的界？
• RQ4 与现有方法相反，合流提议的性能是否随桥接长度增加而提升？
• RQ5 该框架能否扩展至多维或跳扩散桥接，同时保持精确性和线性缩放？

主要发现

• 该算法实现了对目标扩散桥测度的精确采样，无离散化误差，确保了统计有效性。
• 计算成本与桥接持续时间呈线性关系，这在数值研究中得到了实证验证。
• 在300个时间单位的Langevin扩散桥模拟中，接受率超过97%，表明提议与目标之间匹配度很高。
• 该方法为轨迹的局部极大值和极小值提供了几乎必然的界，从而能够精确计算路径相关泛函（如障碍期权价格）。
• 合流提议在更长的桥接中表现更优，与现有方法随T增加而性能下降的趋势形成鲜明对比。
• 该方法非常适合用于分布式贝叶斯推断，其中需要将多个数据源融合为单一一致的模型。