[论文解读] Simulating Markovian Open Quantum Systems Using Higher-Order Series Expansion

Xiantao Li, Chunhao Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2022

Tensor decomposition and applications被引用 6

一句话总结

本文提出了一种概念上简单的量子算法，用于模拟马尔可夫开放量子系统，基于杜哈梅尔原理的高阶级数展开和缩放高斯求积法。该方法通过高效近似 Lindblad 演化为完全正映射，避免了压缩编码和时间计时，实现了 O(t polylog(t/ǫ)) 的最优复杂度量级，并自然推广至时变 Lindbladian。

ABSTRACT

We present an efficient quantum algorithm for simulating the dynamics of Markovian open quantum systems. The performance of our algorithm is similar to the previous state-of-the-art quantum algorithm, i.e., it scales linearly in evolution time and poly-logarithmically in inverse precision. However, our algorithm is conceptually cleaner, and it only uses simple quantum primitives without compressed encoding. Our approach is based on a novel mathematical treatment of the evolution map, which involves a higher-order series expansion based on Duhamel's principle and approximating multiple integrals using scaled Gaussian quadrature. Our method easily generalizes to simulating quantum dynamics with time-dependent Lindbladians. Furthermore, our method of approximating multiple integrals using scaled Gaussian quadrature could potentially be used to produce a more efficient approximation of time-ordered integrals, and therefore can simplify existing quantum algorithms for simulating time-dependent Hamiltonians based on a truncated Dyson series.

研究动机与目标

• 开发一种更概念清晰且高效的量子算法，用于模拟马尔可夫开放量子系统。
• 克服在 Lindbladian 超算符高阶泰勒级数展开中保持完全正性的问题。
• 消除量子模拟算法中对压缩编码和时间计时的需求。
• 将该方法推广至时变 Lindbladian，并改进时序积分的近似。
• 实现与最先进水平相当的复杂度量级：O(t polylog(t/ǫ))，且不依赖复杂原语。

提出的方法

• 基于杜哈梅尔原理，对演化映射使用高阶级数展开，将 Lindbladian 分解为可管理的分量。
• 应用缩放高斯求积法近似级数中的多重积分，以更少的项实现高阶精度。
• 采用块编码输入模型表示 H 和 Lj 算符，通过线性组合单位操作（LCU）实现高效的量子实现。
• 利用无感知幅值放大和受控旋转实现演化，以准备依赖时间与状态的超算符。
• 通过直接从基于求积的近似构造 Kraus 算符，避免时间计时和压缩编码。
• 将级数截断至阶数 K′，并利用矩阵范数不等式和耗散性超算符的性质来界定误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于杜哈梅尔原理的高阶级数展开，实现具有最优复杂度和完全正性的 Lindblad 演化模拟？
• RQ2 缩放高斯求积法能否替代传统积分规则，显著减少 Kraus 表示中的项数？
• RQ3 在保持多项式对数精度量级的前提下，能否在开放系统量子模拟中避免压缩编码和时间计时？
• RQ4 该方法如何推广至时变 Lindbladian？
• RQ5 该方法能否简化现有时间依赖哈密顿量模拟中时序积分的算法？

主要发现

• 该算法实现了 O(t polylog(t/ǫ)) 的最优复杂度量级，与最佳已知先前结果一致。
• 当设置 K′ = O(log(1/ǫ)/log log(1/ǫ)) 且 t∥L∥be = Θ(1) 时，误差被限制在 ǫ 以内。
• 使用缩放高斯求积法使 Kraus 分解中的项数相比矩形或中点规则呈指数减少。
• 该方法避免了压缩编码和时间计时，简化了实现并降低了门操作开销。
• 通过扩展级数和求积框架，该方法可自然推广至时变 Lindbladian。
• 误差分析表明，当 ǫ′ ≤ ǫ/(t∥L∥be) 时，截断误差占主导地位，从而可精确控制总误差。