[论文解读] Simulation of multivariate diffusion bridge

Mogens Bladt, Samuel Finch+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖且可推广的多变量扩散桥模拟方法，通过耦合的时间反转扩散过程，实现了对离散观测随机微分方程的高效似然与贝叶斯推断。该方法利用耦合技术提高前向过程与反向过程的相遇概率，从而支持拒绝采样和具有精确桥接的MCMC算法，计算复杂度与时间区间长度呈线性关系。

ABSTRACT

We propose simple methods for multivariate diffusion bridge simulation, which plays a fundamental role in simulation-based likelihood and Bayesian inference for stochastic differential equations. By a novel application of classical coupling methods, the new approach generalizes a previously proposed simulation method for one-dimensional bridges to the multi-variate setting. First a method of simulating approximate, but often very accurate, diffusion bridges is proposed. These approximate bridges are used as proposal for easily implementable MCMC algorithms that produce exact diffusion bridges. The new method is much more generally applicable than previous methods. Another advantage is that the new method works well for diffusion bridges in long intervals because the computational complexity of the method is linear in the length of the interval. In a simulation study the new method performs well, and its usefulness is illustrated by an application to Bayesian estimation for the multivariate hyperbolic diffusion model.

研究动机与目标

• 解决长期存在的高效模拟多变量扩散桥的挑战，以支持基于模拟的推断。
• 通过利用耦合技术提高路径相交概率，克服先前拒绝采样方法的过高拒绝率。
• 开发一种通用方法，适用于广泛类别的多变量扩散过程，包括非遍历和非仿射模型。
• 通过精确桥接模拟，实现对复杂扩散模型（如多变量双曲扩散）的实际贝叶斯推断。

提出的方法

• 模拟两个耦合的扩散过程：一个从前向状态 $a$ 开始，一个从终端状态 $b$ 开始反向演化，其动态设计使得反向过程与前向过程具有相同的分布。
• 使用经典耦合技术在两个过程中引入依赖关系，提高在 $[0,T]$ 区间内路径相交的概率。
• 通过连接前向路径至相遇时间 $\tau$ 和从 $\tau$ 到 $T$ 的反向路径，构建近似扩散桥，形成从 $a$ 到 $b$ 的路径。
• 通过重复模拟耦合过程直至相遇，应用拒绝采样，获得拒绝概率可接受的近似桥接。
• 将该近似桥作为MCMC算法中的提议分布——具体而言，采用伪边缘马尔可夫链蒙特卡洛与一种更简单但拒绝率更高的替代方法——以目标为精确扩散桥。
• 利用Girsanov公式和时间反转性质推导转移密度，确保耦合与桥接构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种简单且可推广的方法，用于模拟多变量扩散桥，以避免先前拒绝采样方法的高拒绝率？
• RQ2 如何将耦合技术应用于多变量扩散过程，以提高路径相交概率，从而提升模拟效率？
• RQ3 随着时间区间 $T$ 的增加，该方法在多大程度上保持计算效率，特别是在长时间跨度的场景中？
• RQ4 该方法能否应用于复杂且非仿射的扩散模型（如多变量双曲扩散），并支持精确的贝叶斯推断？

主要发现

• 所提方法在拒绝采样中实现了可接受的拒绝概率，原因在于基于路径的目标（而非点目标）以及通过耦合提高的相遇概率。
• 该方法的计算复杂度随时间区间长度 $T$ 线性增长，使其在长区间下依然高效。
• 该方法将Bladt和Sørensen（2014）的一维桥接模拟推广至多变量情形，克服了高维情况下显著的技术挑战。
• 通过耦合技术提高了前向与反向扩散过程的相遇概率，即使在一维情况下也显著提升了效率。
• 该方法支持通过MCMC算法实现扩散桥的精确模拟，从而实现对离散采样扩散过程的有效似然与贝叶斯推断。
• 模拟研究及对多变量双曲扩散模型的应用表明，该方法具有实际应用价值和优异性能。