[论文解读] Simulation of multivariate distributions with fixed marginals and correlations

Mark Huber, Nevena Marić|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种模拟方法，用于生成具有固定边缘分布和指定成对相关性的多元随机变量，通过利用凸性参数 λ_ij ∈ [0,1] 映射到 Fréchet-Hoeffding 边界。主要贡献在于证明了在对称伯努利(1/2)边缘分布下，相关性模拟的最坏情况出现，从而使得通过这一典型情形可实现对所有边缘类型的一般性模拟。

ABSTRACT

Consider the problem of drawing random variates $(X_1,\ldots,X_n)$ from a distribution where the marginal of each $X_i$ is specified, as well as the correlation between every pair $X_i$ and $X_j$. For given marginals, the Fr\'echet-Hoeffding bounds put a lower and upper bound on the correlation between $X_i$ and $X_j$. Hence any achievable correlation can be uniquely represented by a convexity parameter $\lambda_{ij} \in [0,1]$ where 1 gives the maximum correlation and 0 the minimum correlation. We show that for a given convexity parameter matrix, the worst case is when the marginal distribution are all Bernoulli random variables with parameter 1/2 (fair 0-1 coins). It is worst case in the sense that given a convexity parameter matrix that is obtainable when the marginals are all fair 0-1 coins, it is possible to simulate from any marginals with the same convexity parameter matrix. In addition, we characterize completely the set of convexity parameter matrices for symmetric Bernoulli marginals in two, three and four dimensions.

研究动机与目标

• 解决在预设边缘分布和成对相关性下模拟多元分布的挑战。
• 表征在固定边缘分布下可实现的相关性结构集合。
• 识别在所有可能的边缘类型中，相关性边界最严格的最困难模拟情形。
• 证明：若对称伯努利(1/2)边缘分布下某组凸性参数矩阵可实现，则对任意其他边缘分布，只要具有相同的 λ_ij 矩阵，即可实现模拟。

提出的方法

• 使用凸性参数 λ_ij ∈ [0,1] 表示每对相关性，其中 λ_ij = 1 对应该相关性的最大可能值，λ_ij = 0 对应最小值，依据 Fréchet-Hoeffding 边界定义。
• 利用 Fréchet-Hoeffding 边界在对称伯努利(1/2)边缘分布下最为紧致的特性，使其成为相关性模拟的最坏情况。
• 构建一个模拟框架：首先在给定 λ_ij 矩阵下，基于对称伯努利(1/2)边缘分布生成变量子集，然后通过概率积分变换将其转换为目标边缘分布。
• 使用几何与代数约束，表征在二维、三维和四维下对称伯努利边缘分布的可行凸性参数矩阵 λ_ij 集合。
• 证明：若某凸性参数矩阵在对称伯努利(1/2)边缘分布下可行，则其对所有其他具有相同 λ_ij 矩阵的边缘分布也均可行。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模拟具有固定相关性和边缘分布的多元分布时，哪种边缘分布是最具挑战性的？
• RQ2 在低维情形下，哪些凸性参数矩阵 λ_ij 对对称伯努利(1/2)边缘分布是可行的？
• RQ3 是否可以将任意边缘分布的模拟方法归约为使用对称伯努利(1/2)边缘分布的典型情形？
• RQ4 Fréchet-Hoeffding 边界如何约束一般边缘分布下可实现的相关性结构？

主要发现

• 对称伯努利(1/2)分布是模拟具有固定边缘分布和相关性的多元分布的最坏情况，原因在于其 Fréchet-Hoeffding 边界最为紧致。
• 任何在对称伯努利(1/2)边缘分布下可行的凸性参数矩阵 λ_ij，对所有其他具有相同 λ_ij 矩阵的边缘分布也均可行。
• 在二维、三维和四维下，对称伯努利(1/2)边缘分布的可行凸性参数矩阵集合已得到完全表征。
• 通过首先在对称伯努利(1/2)边缘分布下进行模拟，再将其转换为目标边缘分布，可实现对具有固定边缘分布和相关性的多元分布的通用模拟。