[论文解读] Simulation of quasi-stationary distributions on countable spaces

Pablo Groisman, Matthieu Jonckheere|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 37被引用 25

一句话总结

本文提出了一种基于弗莱明-维奥特动力学和$μ$-返回过程的可数状态空间上拟平稳分布（QSDs）的模拟方法。证明了映射$Φ(μ)$的不动点（将测度$μ$映射到$μ$-返回过程的平稳分布）恰好对应于QSDs，从而可通过返回过程的动力学实现QSD的迭代逼近。

ABSTRACT

Quasi-stationary distributions (QSD) have been widely studied since the pioneering work of Kolmogorov (1938), Yaglom (1947) and Sevastyanov (1951). They appear as a natural object when considering Markov processes that are certainly absorbed since they are invariant for the evolution of the distribution of the process conditioned on not being absorbed. They hence appropriately describe the state of the process at large times for non absorbed paths. Unlike invariant distributions for Markov processes, QSD are solutions of a non-linear equation and there can be 0, 1 or an infinity of them. Also, they cannot be obtained as Cesàro limits of Markovian dynamics. These facts make the computation of QSDs a nontrivial matter. We review different approximation methods for QSD that are useful for simulation purposes, mainly focused on Fleming-Viot dynamics. We also give some alternative proofs and extensions of known results.

研究动机与目标

• 开发一种在可数状态空间上对拟平稳分布（QSDs）进行实用模拟的方法，其中直接模拟不可行。
• 建立$μ$-返回过程的平稳分布与原始吸收性马尔可夫过程的QSDs之间的联系。
• 为基于映射$Φ(μ)$的迭代方法提供理论基础，证明在适当条件下其收敛于QSDs。
• 解决QSD模拟中的开放问题，包括收敛速率、高阶特征向量，以及漂移随机游走上的FV动力学。

提出的方法

• 定义$μ$-返回过程，即在吸收态0被吸收后从$μ$重新启动的过程。
• 引入映射$Φ(μ)$，将每个初始测度$μ$映射到$μ$-返回过程的平稳分布。
• 证明一个测度$ν$是QSD当且仅当它是$Φ(μ)$的不动点，从而将QSD的存在性与返回过程的动力学联系起来。
• 利用条件演化$T_tμ$的半群性质分析长时间行为并研究收敛到QSDs的过程。
• 应用凯斯滕-斯蒂格姆定理于多类型分支过程，通过归一化种群向量的几乎必然收敛来模拟有限状态空间中的QSDs。
• 利用弗莱明-维奥特动力学作为近似QSDs的框架，其中$N$个粒子的经验测度在$N \to \infty$时收敛于QSD。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，将$μ$-返回过程的平稳测度映射到$Φ(μ)$的映射$Φ(μ)$存在不动点，且该不动点对应于拟平稳分布？
• RQ2 迭代应用$Φ^n(μ)$是否能收敛到拟平稳分布，其收敛的必要与充分条件是什么？
• RQ3 具有$N$个粒子的弗莱明-维奥特动力学如何近似真实的拟平稳分布，且当$N \to \infty$时收敛速率如何？
• RQ4 是否可将该模拟框架扩展以估计无穷小生成元的主特征向量（QSD）之外的其他特征向量？
• RQ5 在扩散驱动的弗莱明-维奥特过程中，其跳跃次数在有限时间间隔内不累积的条件是什么？

主要发现

• 一个测度$ν$是拟平稳分布当且仅当它是映射$Φ(μ)$的不动点，其中$Φ(μ)$将$μ$映射到$μ$-返回过程的平稳分布。
• 在对所有$t > 0$有$P(\tau^x > t) \to 1$当$x \to \infty$的条件下，QSD的存在性等价于存在$\theta > 0$和$x \in \Lambda$使得$\mathbb{E}[e^{\theta \tau^x}] < \infty$。
• 凯斯滕-斯蒂格姆定理表明，在超临界多类型分支过程中，归一化种群向量几乎必然收敛到均值后代矩阵的左特征向量，该特征向量对应唯一的QSD。
• 在有限状态空间中，超临界多类型分支过程的归一化种群向量几乎必然收敛到QSD，从而提供了一种实用的模拟方法。
• 当$N \to \infty$时，具有$N$个粒子的弗莱明-维奥特过程的经验分布收敛于QSD，且标记粒子的分布收敛于$Z^\nu$。
• 基于$μ$-返回过程和映射$Φ(μ)$的方法为模拟QSDs提供了稳健的框架，尤其在结合切萨罗平均或迭代方案时更为有效。