[论文解读] Simulation of the Collatz 3x+1 function by Turing machines

Michel Pascal|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的3状态、4符号图灵机，可无终止地模拟Collatz 3x+1函数，优于先前的3×5和4×4机器。此外，本文还引入了四台新的停机图灵机——3×10、4×6、5×4和13×2——当Collatz序列达到2→1→2循环时，这些机器恰好停机，为3x+1猜想提供了新的计算编码。

ABSTRACT

We give new Turing machines that simulate the iteration of the Collatz 3x+1 function. First, a never halting Turing machine with 3 states and 4 symbols, improving the known 3x5 and 4x4 Turing machines. Second, Turing machines that halt on the final loop, in the classes 3x10, 4x6, 5x4, and 13x2.

研究动机与目标

• 使用更少的状态和符号，构建一个更高效的Collatz 3x+1函数通用模拟器。
• 通过证明3x+1函数可被一台永不终止的3×4图灵机模拟，进一步完善图灵机的分类。
• 设计新型停机图灵机，以检测Collatz序列的最终2→1→2循环，为3x+1猜想提供一种计算测试方法。
• 探索在图灵机模拟中使用不同数制表示——二进制、一进制和三进制——以优化状态和符号数量。

提出的方法

• 该3×4图灵机在三进制编码的数上运行，利用乘以3的简便性以及标准的除以2算法。
• 停机机器是通过在已知的非停机机器基础上增加额外状态，以检测对应于数字1或2→1→2循环的配置而构建的。
• 对于3×10和4×6机器，分别在Margenstern的2×10和3×6机器基础上增加一个停机状态，以检测表示数字1的(A1)b配置。
• 5×4机器使用三进制编码，并引入一个状态以清理末尾的零，并将(Bb)配置作为停机条件。
• 13×2机器通过在Margenstern的11×2二进制编码机器基础上增加状态，以检测表示二进制编码中数字1的(A1)10配置。
• 所有机器均经过形式化验证，可正确模拟Collatz函数，并在序列恰好达到2→1→2循环时停机。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用一台3状态、4符号的图灵机无终止地模拟Collatz 3x+1函数，从而优于已知的3×5和4×4机器？
• RQ2 能否在3×10、4×6、5×4和13×2类中构造出新的停机图灵机，使其在Collatz序列恰好达到2→1→2循环时停机？
• RQ3 不同的数制表示——二进制、一进制和三进制——如何影响模拟3x+1函数的图灵机的效率与设计？
• RQ4 模拟3x+1函数并带有最终循环停机条件的最小状态与符号配置是什么？

主要发现

• 构建了一台新的3×4图灵机，可无终止地模拟Collatz 3x+1函数，优于先前的3×5和4×4机器。
• 3×10图灵机通过在Margenstern的2×10机器基础上增加一个状态构建而成，可在检测到(A1)b配置时停机。
• 4×6图灵机通过在Margenstern的3×6机器基础上增加一个额外状态构建而成，用于检测(A1)b配置并停机。
• 5×4图灵机通过在3×4机器基础上增加两个新状态构建而成：一个用于清理末尾的零，另一个用于检测(Bb)配置作为停机条件。
• 13×2图灵机通过在Margenstern的11×2机器基础上增加两个状态构建而成，用于检测(A1)10配置，以表示二进制编码中的数字1。
• 每台新停机机器均提供一种形式化、有限状态的3x+1猜想测试：当且仅当该机器在所有正整数输入上均停机时，3x+1猜想成立。