[论文解读] Simultaneous Deformations of Lie Algebroids and Lie Subalgebroids

Xiang Ji|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文分别构建了两个 $L_{\infty}$-代数，分别控制李代数胚及其李子代数胚的形变，并将二者统一为一个单一的 $L_{\infty}$-代数以控制同时形变。关键贡献在于利用高阶导子括号与Maurer-Cartan元，提出了一套统一的李代数胚及其子代数胚的形变理论，推广了经典李代数形变理论，并拓展至叶层结构、复结构以及李代数胚同态的情形。

ABSTRACT

The $L_\infty$-algebra is an algebraic structure suitable for describing deformation problems. In this paper we construct one $L_\infty$-algebra, which turns out to be a differential graded Lie algebra, to control the deformations of Lie algebroids and a second one to control the deformations of Lie subalgebroids. We also combine these two $L_\infty$-algebras into one to control the simultaneous deformations of a Lie algebroid and its Lie subalgebroids. The results generalize the deformation theory of Lie algebra and Lie subalgebras. Applications of our results include deformations of foliations, deformations of complex structures and deformations of homomorphisms of Lie algebroids.

研究动机与目标

• 使用 $L_{\infty}$-代数发展李代数胚的形变理论，推广经典DGLA方法。
• 构建一个独立的 $L_{\infty}$-代数，以控制固定李代数胚内李子代数胚的形变。
• 将两类形变问题统一于单一的 $L_{\infty}$-代数框架下，以实现同时形变的代数控制。
• 将该框架应用于叶层结构、复子流形以及李代数胚同态等几何结构。
• 利用超几何与导子括号技术，恢复并推广已知的李代数同态形变结果。

提出的方法

• 采用 T. Voronov 的方法，通过在分次向量空间上构造高阶导子括号来构建 $L_{\infty}$-代数。
• 在 $\mathfrak{X}((A\oplus B)[1])$ 上定义一个微分分次李代数（DGLA），通过Maurer-Cartan方程控制李代数胚的形变。
• 将相同框架应用于法丛 $NS$ 与子丛 $E = \operatorname{gr}(\Psi)$，以控制李子代数胚的形变。
• 引入 V-代数结构与一个平坦的 $L_{\infty}[1]$-代数 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$，以编码同态形变的数据。
• 利用李代数胚同态与 $A \oplus B$ 中图的对应关系，将问题约化为子代数胚的形变问题。
• 通过构造的 $L_{\infty}$-代数中形变与Maurer-Cartan元之间的对应关系，刻画形变的等价类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $L_{\infty}$-代数表述李代数胚的形变理论？
• RQ2 控制固定李代数胚内李子代数胚形变的 $L_{\infty}$-代数结构是什么？
• RQ3 如何通过代数方法控制李代数胚及其李子代数胚的同时形变？
• RQ4 该框架能否应用于叶层结构与复结构等经典几何形变问题？
• RQ5 李代数胚同态的形变与源、目标及同态本身的同时形变之间有何关系？

主要发现

• 控制李代数胚形变的 $L_{\infty}$-代数同构于一个微分分次李代数，相比一般 $L_{\infty}$-代数结构更为简化。
• 李子代数胚 $E \subset A$ 的形变由一个从法丛与包含映射图构造的平坦 $L_{\infty}[1]$-代数 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$ 控制。
• 一个丛映射 $\tilde{\Psi}: A \to B$ 是李代数胚同态 $\Psi$ 的形变，当且仅当其对应的向量场 $X_{\sigma,\phi} = h(\tilde{\Psi})$ 是 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$ 中的Maurer-Cartan元。
• 李代数胚 $A$、$B$ 以及同态 $\Psi: A \to B$ 的同时形变由 $L_{\infty}[1]$-代数 $((\mathfrak{X}(A\oplus B)[1])[1] \oplus \mathfrak{a})_{X_Q}^{P_{I(X_{\sigma,\phi})}}$ 控制。
• 当 $X_Q^2$ 沿法丛纤维解析时，$L_{\infty}[1]$-代数 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$ 控制李代数胚同态 $\Psi$ 的形变。
• 结果恢复并推广了文献 [22] 中关于李代数同态形变的理论，在代数胚退化为李代数的特例下保持一致性。