[论文解读] Simultaneous dense and nondense orbits for toral automorphisms

Jimmy Tseng|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明，对于2环面上的一对双曲环面自同构，其在其中一个映射下具有稠密正向轨道而在另一个映射下具有非稠密正向轨道的点的集合，即使在两个映射不交换的情况下，仍然是稠密且不可数的。证明依赖于几何构造和Baire范畴定理，以确立此类混合轨道行为的普遍性。

ABSTRACT

We show that, for pairs of hyperbolic toral automorphisms on the 2-torus, the points with dense forward orbits under one map and nondense forward orbits under the other is a dense, uncountable set. The pair of maps can be noncommuting. Our main tools are a geometric construction and the Baire Category theorem.

研究动机与目标

• 研究在2环面上两个不同的双曲环面自同构作用下，稠密与非稠密正向轨道共存的可能性。
• 确定尽管环面上的动力系统复杂，此类混合轨道行为在拓扑意义上是否普遍。
• 通过识别具有对比轨道行为的点的普遍性，拓展对非交换动力系统中轨道结构的理解。
• 确立存在一个大且不可数的点集，其在两个不同自同构下表现出截然不同的动力行为。

提出的方法

• 利用几何构造同时分析两个环面自同构作用下轨道的分布。
• 应用Baire范畴定理，证明在其中一个映射下轨道稠密而在另一个映射下轨道非稠密的点的集合在2环面上是稠密的。
• 聚焦于双曲环面自同构，即具有不等于±1的实特征值的线性Anosov映射。
• 分别分析每个映射下的正向轨道，并在拓扑空间中比较其稠密性特征。
• 利用2环面的拓扑结构及剩余集的性质，确立混合轨道集合的不可数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在点，其在其中一个双曲环面自同构下具有稠密正向轨道，而在另一个自同构下具有非稠密正向轨道？
• RQ2 此类点的集合在2环面上是否具有拓扑上的“大”性质——具体而言，是否既稠密又不可数？
• RQ3 当两个自同构不交换时，该现象是否仍然成立？
• RQ4 在环面动力系统中，可使用哪些拓扑工具来证明混合轨道行为的普遍性？

主要发现

• 在其中一个自同构下具有稠密正向轨道而在另一个自同构下具有非稠密正向轨道的点的集合，在2环面上是稠密的。
• 该集合是不可数的，表明其具有丰富且复杂混合动力行为的结构。
• 即使两个环面自同构不交换，该结果依然成立，表明该现象具有鲁棒性。
• Baire范畴定理在证明混合轨道点集合的拓扑“大”性质方面起到了关键作用。