[论文解读] Simultaneous desingularizations of Calabi-Yau and special Lagrangian 3-folds with conical singularities

Yat-Ming Chan|ArXiv.org|Jun 16, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过在每个奇点处粘合渐近锥形（AC）Calabi–Yau 3-流形和AC特殊拉格朗日子流形，实现了Calabi–Yau 3-流形及其具有锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的同步去奇异化。利用Joyce的解析形变定理，该文在去奇异化的Calabi–Yau流形中构造了紧致、非奇异的特殊拉格朗日子流形，典型例子包括$T^3$的实 blows-up 以及在$T^6/\mathbb{Z}_3$的共倾化分辨率中与$S^1 \times S^2$的连通和。其主要贡献是一个统一的去奇异化框架，同时保持复结构与拉格朗日结构。

ABSTRACT

This paper is a follow-up to an earlier paper math.DG/0410260 on desingularizations of Calabi-Yau 3-folds with a conical singularity. In math.DG/0410260 we study Calabi-Yau 3-folds M_0 with a conical singularity at x modelled on some Calabi-Yau cone V, and construct a desingularization of M_0 by gluing in an Asymptotically Conical (AC) Calabi-Yau 3-fold Y to M_0 at x. In this paper, we shall investigate a similar desingularization problem on special Lagrangian (SL) 3-folds in the corresponding Calabi-Yau 3-folds. More precisely, suppose M_0 is now a Calabi-Yau 3-fold with finitely many conical singularities at x_i modelled on Calabi-Yau cones V_i for i=1,...,n, and N_0 an SL 3-fold in M_0 with conical singularities at the same points x_i modelled on SL cones C_i in V_i. Let Y_i be an AC Calabi-Yau 3-fold modelled on the Calabi-Yau cones V_i, and L_i an AC SL 3-fold in Y_i modelled on the SL cones C_i. We then simultaneously desingularize M_0 and N_0 by gluing in rescaled Y_i and L_i at each x_i. The construction is achieved by applying Joyce's analytic result [16, Thm. 5.3] on deforming Lagrangian submanifolds to nearby special Lagrangian submanifolds. As an application, we take M_0 to be the orbifold T^6/\mathbb{Z}_3 and construct some singular SL 3-folds N_0 in M_0 and AC SL 3-folds L_i in the corresponding Y_i, and glue them together to obtain examples of nonsingular SL 3-folds in the desingularized Calabi-Yau 3-folds.

研究动机与目标

• 开发一种对具有锥形奇点的Calabi–Yau 3-流形及其嵌入的特殊拉格朗日子流形进行同步去奇异化的程序。
• 将先前关于Calabi–Yau去奇异化的结果扩展至包含相关特殊拉格朗日子流形的去奇异化。
• 在去奇异化的Calabi–Yau 3-流形中，特别是$T^6/\mathbb{Z}_3$的共倾化分辨率中，构造紧致、非奇异的特殊拉格朗日子流形的显式例子。
• 验证Joyce形变定理在由粘合构造产生的近Calabi–Yau结构中拉格朗日子流形上的适用性。

提出的方法

• 使用文献[7]中的构造方法，将缩放后的渐近锥形（AC）Calabi–Yau 3-流形$Y_i$粘合到在点$x_i$处具有锥形奇点的Calabi–Yau 3-流形$M_0$上，以处理环境空间。
• 在相同的奇点$x_i$处，同时将AC特殊拉格朗日子流形$L_i$粘合到$M_0$中的奇异SL 3-流形$N_0$上，以保持拉格朗日条件。
• 通过在每个$x_i$处粘合$L_i$，在近Calabi–Yau 3-流形$(M_t, \omega_t, \Omega_t)$中构造一维族拉格朗日子流形$N_t$。
• 应用Joyce的解析结果[16, 定理5.3]，将$N_t$形变为在$M_t$上具有真正Calabi–Yau结构的紧致、非奇异特殊拉格朗日子流形。
• 使用坐标微分同胚$\psi_t$将Calabi–Yau结构拉回，使得$N_t$在新的几乎复结构下仍保持拉格朗日性。
• 在$N_t$的三个区域中估计$\text{Im}(\hat{\Omega}_t)|_{N_t}$的大小，以验证Joyce定理的假设，尤其关注无穷远处和粘合区域的衰减率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过一致的粘合程序，同步实现具有锥形奇点的Calabi–Yau 3-流形及其嵌入的特殊拉格朗日子流形的去奇异化？
• RQ2 AC Calabi–Yau与AC SL 3-流形的渐近率需满足何种条件，才能确保存在光滑形变至非奇异SL 3-流形？
• RQ3 如何通过在解析去奇异化的Calabi–Yau 3-流形中构造非奇异SL 3-流形，来实现SYZ猜想的框架？
• RQ4 通过在$K_{\mathbb{C}\mathbb{P}^2}$中粘合AC SL 3-流形对$T^6/\mathbb{Z}_3$进行去奇异化时，会生成何种拓扑类型的非奇异SL 3-流形？

主要发现

• 通过在奇点0处粘合AC Calabi–Yau 3-流形$Y_i$和AC SL 3-流形$L_i$，实现了$M_0 = T^6/\mathbb{Z}_3$及其SL 3-流形$N_0$的同步去奇异化，结果得到一个微分同胚于$T^6/\mathbb{Z}_3$的共倾化分辨率的非奇异Calabi–Yau 3-流形。
• 通过将AC SL 3-流形$K_{\mathbb{R}\mathbb{P}^2}$（速率$\kappa \in (-5, -3/2)$）粘合到$N_0$，构造出一个非奇异SL 3-流形，其同胚于$T^3 \# \mathbb{R}\mathbb{P}^3$。
• 另一构造通过将$S^2 \times \mathbb{R}$型AC SL 3-流形（速率$\kappa = -2$）粘合到具有两个奇点的$T^3$的双重覆盖上，得到一个微分同胚于$T^3 \# (S^1 \times S^2)$的非奇异SL 3-流形。
• 所构造的SL 3-流形族包括$T^3 \# \mathbb{R}\mathbb{P}^3$例子的形变，其中一族来自基于$K_{\mathbb{R}\mathbb{P}^2}$的构造的双重覆盖。
• 基于Joyce定理[16, 定理5.3]的分析框架成功应用，且在粘合区域和渐近端上对$\text{Im}(\hat{\Omega}_t)|_{N_t}$的必要估计已得到验证。
• 该构造证实，去奇异化过程保持了特殊拉格朗日条件，并在解析后的Calabi–Yau 3-流形中生成了紧致、非奇异的SL 3-流形，提供了与SYZ猜想相关的具体实例。