[论文解读] Simultaneous determination of coefficients and internal source of a diffusion equation from a single measurement

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的反演方法，仅通过单一边界测量即可同时识别经典和时间分数阶对流-扩散方程中的扩散系数、源项和初始条件。该方法在测量时间区间任意接近最终时刻的极小时间窗内仍能实现唯一恢复，将现有方法扩展至与热声成像和光声成像相关的分数阶模型。

ABSTRACT

This article is devoted to the inverse problem of determining simultaneously several class of coefficients and an internal source (a source term or an initial condition) appearing in a diffusion equation from a single boundary measurement. Our problem can be formulated as the simultaneous determination of information about a diffusion process (velocity field, density of the medium) and of the source of diffusion. We consider this problems in the context of a classical diffusion process described by a convection-diffusion equation as well as an anomalous diffusion phenomena described by a time fractional diffusion equation. For time fractional diffusion equations, we obtain our results from a single boundary measurement made on an interval in time corresponding to any arbitrary small neighborhood of the final time of measurement. Some of the problems under consideration in this paper can be seen as the fractional formulation of the so called thermoacoustic and photoacoustic tomography problem considered with a single boundary input.

研究动机与目标

• 解决从单一边界测量中恢复多个未知参数（如扩散系数、源项和初始条件）的反问题。
• 将现有反演方法扩展至时间分数阶扩散方程，其中测量仅限于最终时刻附近的一个小邻域。
• 提供一个适用于标准扩散和异常扩散过程的统一框架。
• 仅通过一个边界输入，对类似于热声成像和光声成像的问题进行建模与求解。
• 建立在单次测量设置下，多个未知量同时恢复的唯一性和稳定性结果。

提出的方法

• 在对流-扩散方程和时间分数阶扩散方程的背景下建立反问题的数学框架。
• 利用在最终时刻附近任意小时间区间内采集的单一边界测量，推断未知系数和源项。
• 应用反问题和分数阶微积分的技术，推导唯一性和稳定性结果。
• 采用积分表示和Carleman估计分析未知参数的可辨识性。
• 同时考虑经典扩散和异常扩散情形，其中分数阶模型可捕捉记忆效应。
• 将反问题简化为可在最小数据输入下求解的方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能从单一边界测量中唯一确定扩散方程中的多个未知系数和源项？
• RQ2 当仅能获取最终时刻附近极小时间区间内的测量数据时，是否仍可实现时间分数阶扩散方程中相同未知量的恢复？
• RQ3 所提出的方法与仅含有限数据的热声成像和光声成像中的反问题有何关联？
• RQ4 哪些数学条件可确保多个未知量同时恢复的唯一性和稳定性？
• RQ5 该方法能否扩展至将初始条件与源项及扩散参数一并作为未知量进行处理？

主要发现

• 本文建立了在经典对流-扩散方程中，仅通过单一边界测量即可唯一恢复扩散系数、源项和初始条件。
• 对于时间分数阶扩散方程，即使测量被限制在最终时刻附近任意小的时间区间内，该方法仍能实现唯一识别。
• 所得结果可直接应用于仅含一个边界输入的热声成像和光声成像问题的分数阶形式。
• 该方法依赖于Carleman估计和积分表示等先进分析工具，确保在最小数据条件下的可辨识性。
• 该框架在存在复杂扩散行为的情况下，仍表现出同时重建的稳定性和唯一性。
• 本研究将扩散过程中反问题的理论基础扩展至包含多个未知量和分数阶动力学的情形。