[论文解读] Simultaneous Diophantine Approximation in Function Fields

Zhiyong Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在正特征函数域中建立了一个数的几何框架，以推广经典的同时丢番图逼近结果。证明了对于 $ k_\infty $ 中任意 $ n $ 个元素，存在一个公共分母多项式 $ x $，使得所有 $ ||x\theta_i|| $ 同时有界于 $ (q|H|)^{-1/n} $，将 Liouville–Mahler 定理推广至高维情形，并通过连分数精确确定了二次代数函数的逼近常数。

ABSTRACT

There are abundant results on Diophantine approximation over fields of positive characteristic (see the survey papers [13, 25]), but there is very little information about simultaneous approximation. In this paper, we develop a technique of \geometry of numbers" in positive characteristic, so that we may generalize some of the classical results on simultaneous approximation to the case of function fields. More precisely, we approximate a finite set of Laurent series by rational functions with a common denominator. In particular, the lower bound results we obtain may be regarded as a high dimensional version of the Liouville{ Mahler Theorem on algebraic functions of degree n. As an application, we investigate binary quadratic forms, and determine the exact approximation constant of a quadratic algebraic function. Finally, we give two examples using continued fractions.

研究动机与目标

• 在正特征函数域中发展一种数的几何方法，用于同时丢番图逼近。
• 将 Liouville–Mahler 定理推广至多个洛朗级数的同时逼近情形。
• 确定 $ k_\infty $ 中二次代数函数的精确逼近常数 $ \tau(\alpha) $。
• 分析二次代数元素连分数展开的结构，并将其初等商与逼近常数关联。
• 建立初等商最大次数与最小多项式判别式之间的联系。

提出的方法

• 利用加法群 $ k_\infty / K $ 上的哈尔测度分析小数部分的分布。
• 应用闵可夫斯基线性型定理（引理 2.4）通过连续最小值推导同时逼近的界。
• 引入范数 $ ||\alpha|| = \inf_{A \in K} |\alpha - A| $，表示 $ \alpha $ 到 $ K $ 中最近多项式的距离。
• 在 $ k_\infty $ 中使用连分数展开，以收敛子 $ P_n/Q_n $ 分析逼近质量。
• 定义逼近常数 $ \tau(\alpha) = \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{|a_n|} $，其中 $ a_n $ 为初等商。
• 将初等商的最大次数 $ D(\alpha) $ 与最小多项式的判别式 $ \delta $ 及二次型的赋值 $ t(f) $ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Liouville–Mahler 丢番图逼近定理能否推广至正特征函数域中的同时逼近？
• RQ2 在 $ k_\infty $ 中，对于具有公共分母的一组有限个洛 Laurent 级数，最优同时逼近常数是什么？
• RQ3 二次代数函数连分数展开中初等商的次数如何与其逼近常数相关？
• RQ4 是否存在函数域中的马尔可夫谱，其结构是否与实数情形相同？
• RQ5 在何种条件下，$ k_\infty $ 中的二次代数函数是坏逼近的，其逼近常数如何计算？

主要发现

• 对于任意 $ n $ 个元素 $ \theta_1, \dots, \theta_n \in k_\infty $ 和满足 $ |H| \geq 1 $ 的 $ H \in k_\infty $，存在一个多项式 $ x \in K $，使得 $ \max_{1 \leq i \leq n} ||x\theta_i|| \leq (q|H|)^{-1/n} $ 且 $ 1 \leq |x| \leq |H| $，从而证明了同时逼近的界。
• 对于二次代数函数 $ \alpha $，其逼近常数满足 $ \tau(\alpha) = q^{-D(\alpha)} $，其中 $ D(\alpha) $ 为其初等商的最大次数。
• 对于二次代数元素 $ \alpha $，其最大初等商次数满足 $ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta + t(f) $，其中 $ \delta $ 为判别式，$ t(f) $ 为二次型的最大赋值。
• 若 $ \alpha $ 关于 $ k $ 整，则 $ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta $，表明在整数情形下该界是紧的。
• 逼近常数 $ \tau(\alpha) = q^{-d} $ 在 $ \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{(aT+b)^2 + 4} - (aT+b)) $ 时被实现，其中 $ a \in \mathbb{F}_q^* $，$ b \in \mathbb{F}_q $，且 $ d = \deg(aT + b) $。
• 函数域中的马尔可夫谱在经典意义上不存在，因为存在无穷多个满足 $ \tau(\alpha) = q^{-1} $ 且不等价于标准连分数例子的 $ \alpha $。