[论文解读] Simultaneous Gaussian quadrature for Angelesco systems

D. S. Lubinsky, Walter Van Assche|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了在Angelesco系统中，针对两个不相交区间的积分，使用II型多重正交多项式进行的同步高斯求积。研究证明了当节点位于对应区间内时，求积权重为正，建立了在函数和测度满足光滑性条件下的收敛性，并通过向量平衡问题和加权多项式逼近方法提供了权重的估计。

ABSTRACT

We investigate simultaneous Gaussian quadrature for two integrals of the same function $f$ but on two disjoint intervals. The quadrature nodes are zeros of a type II multiple orthogonal polynomial for an Angelesco system. We recall some known results for the quadrature nodes and the quadrature weights and prove some new results about the convergence of the quadrature formulas. Furthermore we give some estimates of the quadrature weights. Our results are based on a vector equilibrium problem in potential theory and weighted polynomial approximation.

研究动机与目标

• 分析使用单组节点对两个不相交区间上的积分进行同步高斯求积规则。
• 确定Angelesco系统中求积权重的符号、分布及其渐近行为。
• 为具有不相交支撑的光滑函数和测度建立求积公式的收敛性。
• 通过势论和多重正交多项式推导求积权重的定量估计。
• 通过多重正交多项式将经典高斯求积的已知结果推广到同步多变量情形。

提出的方法

• 在Angelesco系统中使用II型多重正交多项式处理多指标测度，其中每个测度均支持在不相交的区间上。
• 在势论中应用向量平衡问题，以描述求积节点的极限分布。
• 采用加权多项式逼近技术，分析求积权重的渐近行为。
• 将求积权重表示为拉格朗日基多项式关于测度的积分，利用多重正交性的结构。
• 利用多重正交多项式在每个区间上分解为普通正交多项式。
• 应用关于Christoffel函数和渐近谱理论的已知结果，以估计求积权重的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同步求积规则对给定光滑类中的函数收敛于真实积分？
• RQ2 当节点位于对应测度支撑区间的内部时，求积权重的符号是什么？
• RQ3 随着节点数的增加，求积权重的渐近行为如何？
• RQ4 能否通过势论中的向量平衡问题表征求积节点的分布？
• RQ5 在Angelesco设定下，求积权重与变权重的Christoffel函数之间存在何种关系？

主要发现

• 当对应节点位于测度支撑区间的内部时，求积权重严格为正，即 $\lambda_{k,rn}^{(j)} > 0$ 当 $x_{k,rn} \in [a_j,b_j]$。
• 求积规则对所有次数不超过 $(r+1)n - 1$ 的多项式精确成立，其中主分析中 $r=2$，实现了高度精确。
• 在函数于测度支撑集并集的凸包邻域内解析的条件下，建立了求积公式的收敛性。
• 在适当条件下，求积权重上下界一致有界，估计结果来自势论方法。
• 求积节点的极限分布由涉及测度支撑集的向量平衡问题的平衡测度所刻画。
• 在两区间情形下，当 $n \to \infty$ 时，权重满足 $\lambda_{k,2n}^{(1)} \sim \lambda_n(x_k; d\mu_1)$，在适当条件下，将其与经典Christoffel函数联系起来。