[论文解读] Simultaneous global exact controllability of an arbitrary number of 1D bilinear Schr\\"odinger equations

Morgan Morancey, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用 31

一句话总结

本文在关于偶极矩的通用假设下，通过单个控制输入，建立了任意数量1D双线性薛定谔方程的全局精确可控性。证明结合了基于李雅普诺夫的近似可控性、科罗姆的回路法以实现有限本征态之和附近的局部精确可控性，以及紧致性论证，从而在长时间内实现初始状态和目标状态属于 $H^4_{(V)}$ 时的全局精确可控性。

ABSTRACT

We consider a system of an arbitrary number of \ extsc{1d} linear Schr\\"odinger equations on a bounded interval with bilinear control. We prove global exact controllability in large time of these $N$ equations with a single control. This result is valid for an arbitrary potential with generic assumptions on the dipole moment of the considered particle. Thus, even in the case of a single particle, this result extends the available literature. The proof combines local exact controllability around finite sums of eigenstates, proved with Coron's return method, a global approximate controllability property, proved with Lyapunov strategy, and a compactness argument.

研究动机与目标

• 建立任意数量 $N$ 个1D双线性薛定谔方程在单个控制输入下的同步全局精确可控性。
• 将现有单粒子精确可控性结果扩展至多粒子情形，即使在存在任意势能的情况下亦成立。
• 在 $H^4_{(V)}$ 勒贝格空间中证明对通用偶极矩 $\mu$ 的可控性。
• 通过在更高正则性设定下并辅以有利的谱假设，克服先前负面可控性结果的局限性。
• 证明在该框架下，初始态与终态的酉等价性是可控性的必要且充分条件。

提出的方法

• 采用李雅普诺夫策略，实现在 $H^4_{(V)}$ 中对有限本征态之和的近似可控性。
• 应用科罗姆的回路法，通过参考轨迹设计与线性化系统分析，证明在 $H^3_{(V)}$ 中对有限本征态之和附近的局部精确可控性。
• 采用紧致性论证，将局部可控性结果推广至长时间区间内的全局精确可控性。
• 实施扰动论证，将自由情形（$V=0$）的结果推广至任意 $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$。
• 依赖谱分析与矩问题，建立偶极矩条件的通用性，以确保矩阵元 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$ 的非退化性。
• 利用实解析性与余稠密性论证，表明在 $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 中使系统可控的 $\mu$ 的集合是余稠密集。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个控制输入能否精确地将 $N$ 个相同的1D量子粒子从任意初始态调控至 $H^4_{(V)}$ 中任意酉等价的终态？
• RQ2 对于任意数量 $N$ 个1D双线性薛定谔方程，即使在通用且任意势能下，是否可通过单个控制实现全局精确可控性？
• RQ3 在索伯列夫空间框架下，确保可控性的势能 $V$ 与偶极矩 $\mu$ 的最小正则性要求为何？
• RQ4 如何结合李雅普诺夫函数与回路法，以实现无限维量子系统的全局可控性？
• RQ5 确保系统可控性的 $\mu$ 的通用性条件是什么？该集合在函数空间 $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 中如何表征？

主要发现

• 对于任意 $N \in \mathbb{N}$，任意 $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$，以及 $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 中的残渣集 $\mathcal{Q}_V$，系统在 $\boldsymbol{H}^4_{(V)}$ 中是全局精确可控的。
• 可控性的关键条件是：对所有 $j,k \in \mathbb{N}^*$，有 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle \neq 0$，该条件在 $H^4$ 中是通用成立的。
• 对于通用 $\mu$，矩阵元 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$ 满足 $|\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle| \geq C_j / k^3$（当 $k$ 较大时），从而保证非退化性。
• 证明表明，即使在存在共振谱的情况下，仍可通过李雅普诺夫函数实现对有限本征函数之和的近似可控性。
• 通过科罗姆的回路法，实现对有限本征态之和附近的局部精确可控性，要求时间区间足够长以允许旋转与稳定。
• 紧致性论证通过利用 $H^4$ 中的有界性与 $H^3$ 中的收敛性，实现从局部到全局精确可控性的过渡。