[论文解读] Simultaneously recovering potentials and embedded obstacles for anisotropic fractional Schrödinger operators

Xinlin Cao, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文首次在各向异性分数阶薛定谔算子中，通过单次外部Dirichlet-to-Neumann（DtN）测量，实现了对嵌入障碍物和周围势能的同步唯一性恢复。关键贡献在于证明了：障碍物可仅通过一次测量唯一确定，且该结果与势能无关；同时，通过多次测量可唯一确定势能，从而利用非局部分析工具解决了局部情形（s=1）下长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

Let $A\in\mathrm{Sym}(n imes n)$ be an elliptic 2-tensor. Consider the anisotropic fractional Schrödinger operator $\mathscr{L}_A^s+q$, where $\mathscr{L}_A^s:=(- abla\cdot(A(x) abla))^s$, $s\in (0, 1)$ and $q\in L^\infty$. We are concerned with the simultaneous recovery of $q$ and possibly embedded soft or hard obstacles inside $q$ by the exterior Dirichlet-to-Neumann (DtN) map outside a bounded domain $Ω$ associated with $\mathscr{L}_A^s+q$. It is shown that a single measurement can uniquely determine the embedded obstacle, independent of the surrounding potential $q$. If multiple measurements are allowed, then the surrounding potential $q$ can also be uniquely recovered. These are surprising findings since in the local case, namely $s=1$, both the obstacle recovery by a single measurement and the simultaneous recovery of the surrounding potential by multiple measurements are longstanding problems and still remain open in the literature. Our argument for the nonlocal inverse problem is mainly based on the strong uniqueness property and Runge approximation property for anisotropic fractional Schrödinger operators.

研究动机与目标

• 解决非局部薛定谔算子中同时唯一恢复嵌入障碍物与周围势能这一长期悬而未决的开放问题。
• 建立仅通过一次外部测量即可唯一确定嵌入障碍物的理论，且该结果与周围势能无关。
• 证明通过多次外部测量可唯一恢复 $ L^\infty $ 范围内的势能 $ q $，将结果拓展至局部情形之外。
• 基于强唯一性和Runge逼近构造非局部反问题中含嵌入障碍物的理论框架。
• 解决各向异性分数阶情形下的同步恢复问题，其中局部情形（s=1）仍为未解难题。

提出的方法

• 利用各向异性分数阶薛定谔算子的强唯一性性质，将零解在域内传播。
• 应用Runge逼近性质构造在 $ L^2 $ 中具有稠密范围的解，从而在反问题中实现稠密性论证。
• 从非局部方程的弱形式出发，推导积分恒等式，将DtN映射与势能及障碍物关联。
• 将Dirichlet-to-Neumann映射 $ \Lambda_{D,q} $ 作为唯一外部测量，其通过非局部算子 $ \mathscr{L}_A^s $ 定义。
• 通过构造在 $ L^2 $ 中收敛的解序列，实施极限论证，以测试任意 $ L^2 $ 函数，从而实现基于稠密性的唯一性证明。
• 依赖于在特征值条件（1.3）下非局部问题的适定性，确保弱解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在各向异性分数阶薛定谔算子中，仅通过一次外部测量能否唯一确定嵌入障碍物，且该结果与周围势能无关？
• RQ2 在存在嵌入障碍物的情况下，通过多次外部测量能否唯一恢复 $ q \in L^\infty $ 范围内的势能？
• RQ3 分数阶算子的非局部性质是否能提供强于局部情形（s=1）的唯一性结果，而后者至今仍为开放问题？
• RQ4 强唯一性和Runge逼近性质如何促进非局部PDE中同步反问题的求解？
• RQ5 扩散张量 $ A(x) $ 的各向异性在障碍物与势能恢复唯一性中起到何种作用？

主要发现

• 嵌入障碍物 $ D $ 可通过单次外部Dirichlet-to-Neumann测量唯一确定，且该结果与周围势能 $ q $ 无关，如定理1.1所示。
• 通过多次外部测量可唯一确定势能 $ q \in L^\infty(\Omega \setminus \overline{D}) $，证明见定理1.2与定理5.1。
• 通过使用在 $ L^2 $ 中收敛的解序列实施极限论证，确立了 $ q $ 的唯一性，从而可使用稠密测试函数。
• 强唯一性性质确保：若解在外部某开集上为零，则其恒为零，这对唯一性证明至关重要。
• Runge逼近性质允许构造具有预设内部行为的解，这对证明 $ q $ 的唯一性至关重要。
• 结果对软障碍或硬障碍条件具有鲁棒性，因为边界条件 $ \mathcal{B}u=0 $ 不影响核心唯一性论证。