[论文解读] Single-index copulae

Jean‐David Fermanian, Olivier Lopez|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出单指数对 copulae，一种半参数模型，通过假设对 copula 参数依赖于一个单变量指数并通过未知连接函数，从而降低高维依赖建模的复杂度。作者提出了对连接函数和有限维参数的估计量，并在正则条件下建立了其渐近正态性和一致性，从而克服了条件对 copula 建模中的维数灾难问题。

ABSTRACT

We introduce so-called "single-index copulae". They are semi-parametric conditional copulae whose parameter is an unknown "link" function of a univariate index only. We provide estimates of this link function and of the finite dimensional unknown parameter. The asymptotic properties of the latter estimates are stated. Thanks to some properties of conditional Kendall's tau, we illustrate our technical conditions with several usual copula families.

研究动机与目标

• 为解决高维协变量下条件对 copula 模型中的维数灾难问题。
• 提出一种半参数模型，其中对 copula 参数通过未知连接函数依赖于单变量指数。
• 为单指数结构中的连接函数和有限维参数开发估计量。
• 在正则条件下建立参数估计量的渐近性质——一致性和正态性。
• 通过条件 Kendall’s tau 展示方法的可行性，并利用常见对 copula 家族说明技术条件。

提出的方法

• 将条件对 copula 参数建模为协变量线性组合的函数，即 θ(z) = ψ(β₀′z)，其中 β₀ 为有限维参数，ψ 为未知连接函数。
• 使用核平滑方法估计指数 β′Z 的密度和条件期望，带宽 h̃ 的选择以平衡偏差与方差。
• 通过局部估计方程方法估计连接函数 ψ，使用核加权的估计函数经验版本。
• 通过证明其在正则条件下收敛于正态分布，推导出 β₀ 估计量的渐近分布。
• 利用经验过程理论和核密度估计，建立估计对 copula 及其导数的统一收敛速率。
• 利用条件 Kendall’s tau 作为工具，验证技术条件，并将模型与依赖结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 copula 参数施加单指数假设是否能在不损失灵活性的前提下降低条件对 copula 模型的维数？
• RQ2 在此半参数框架下，连接函数和指数参数 β₀ 的估计量具有何种渐近性质？
• RQ3 如何通过单指数结构缓解非参数条件对 copula 估计中的维数灾难问题？
• RQ4 在此模型下，估计对 copula 及其导数的统一收敛速率是什么？
• RQ5 条件 Kendall’s tau 是否可用于验证正则条件并验证模型假设？

主要发现

• 在正则条件下，有限维参数 β₀ 的估计量渐近服从正态分布，收敛速率为 O_P(√n)。
• 估计对 copula 及其导数的统一收敛速率为 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n^{1/2} ˜h^{1/2})), 其中 ˜h 为带宽。
• 估计对 copula 的一阶导数的统一收敛速率为 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{3/2}))。
• 估计对 copula 的二阶导数的统一收敛速率为 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{5/2}))。
• 该方法通过将对完整 p 维协变量空间的依赖关系简化为单一指数，避免了维数灾难。
• 条件 Kendall’s tau 被用于验证技术条件，并将模型与潜在依赖结构联系起来。