[论文解读] Single parameter scaling of one-dimensional systems with real-space long-range correlated disorder

Greg Petersen, Nancy Sandler|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用 3

一句话总结

本研究探讨了一维无序系统中实空间长程相关无序下的单参数标度（SPS）行为，发现当无序强度与关联指数之比 $ W/(t\alpha) < 1 $ 时，SPS 在能带中心与边缘之间的能量范围内失效。临界指数 $ \nu $ 与分形指数 $ D $ 开始依赖于关联指数 $ \alpha $，表明关联性从根本上改变了局域化物理机制，而不仅仅是无序强度的简单重标度。

ABSTRACT

Advances in material growth methods have renewed the interest in localization of one-dimensional systems in the presence of scale-free long-range correlated disorder potentials. We analyze the validity of single parameter scaling for the β-function away from the band center, in the presence of correlations. A renormalized disorder strength emerges reducing the regime of validity of the single parameter scaling hypothesis. Analysis of localization lengths and participation ratios leads to correlation dependent critical and fractal exponents, consistent with the extended Harris criterion.

研究动机与目标

• 评估单参数标度（SPS）在实空间长程相关无序的一维系统中 $ \beta $-函数的有效性。
• 通过局域化长度分析，研究受有效无序强度 $ W_{\text{eff}} $ 与有效白噪声无序影响的两个标度行为之间的交叉过渡。
• 利用参与比和分形维数 $ D $ 表征局域化本征态的性质，并确定其对关联指数 $ \alpha $ 的依赖关系。
• 检验在幂律相关无序存在下，扩展哈里斯判据是否适用于临界指数与分形指数。
• 通过将 SPS 失效与局域化长度 $ \xi $ 在能带边缘和中心附近的非解析行为相联系，解决先前标度理论中的不一致性。

提出的方法

• 对具有幂律相关局域能 $ \epsilon_n $ 的一维安德森哈密顿量进行数值对角化，其中 $ \langle \epsilon_n \epsilon_0 \rangle \propto (1+n)^{-\alpha} $。
• 采用转移矩阵方法计算局域化长度 $ \xi $，以分析 $ \beta $-函数并识别标度行为区域。
• 通过公式 $ A_m = \frac{1}{N} \frac{\left( \sum |\psi_m(n)|^2 \right)^2}{\sum |\psi_m(n)|^4} $ 计算逆参与比（IPR），并通过拟合 $ A_m \sim (L/a)^{-D} $ 提取分形维数 $ D $。
• 系统性地改变 $ \alpha $、$ W/t $ 和能量 $ E/t $，以研究 $ \nu $ 与 $ D $ 对关联强度与能级位置的依赖性。
• 应用扩展哈里斯判据解释 $ \nu $ 与 $ D $ 对 $ \alpha $ 的依赖性，并与未关联无序极限下的结果进行比较。
• 分析标度行为发生变化的能量阈值 $ E_{\text{crossover}} $，该阈值与 $ \xi(W/t) $ 的非解析性相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实空间长程相关无序的一维系统中，单参数标度（SPS）是否适用于 $ \beta $-函数，尤其是在能带中心之外？
• RQ2 有效无序强度 $ W_{\text{eff}} $ 如何改变标度行为？它在定义标度行为区域之间的交叉过渡中起什么作用？
• RQ3 局域化长度临界指数 $ \nu $ 对关联指数 $ \alpha $ 的依赖关系如何？其行为是否符合扩展哈里斯判据的预测？
• RQ4 局域化本征态的分形维数 $ D $ 如何随 $ \alpha $ 变化？其在能带中心与能带边缘处是否存在差异？
• RQ5 为何在长程关联存在时 SPS 假设会失效？这与局域化长度中的非解析行为有何关联？

主要发现

• 当 $ W/(t\alpha) < 1 $ 时，SPS 在能带中心与边缘之间的能量范围内失效，且失效阈值 $ E_{\text{SPS}} $ 与局域化长度展开中能带边缘异常的出现点一致。
• 局域化长度临界指数 $ \nu $ 对 $ \alpha $ 的依赖关系呈非单调性，$ \alpha < 1 $ 与 $ \alpha > 1 $ 时具有不同的函数形式，表明在 $ \alpha = 1 $ 处存在交叉转变。
• 对于 $ \alpha < 1 $，局域化本征态的分形维数 $ D $ 变为 $ \alpha $-相关，尤其在能带中心处，随着 $ \alpha $ 增大，$ D $ 减小，意味着波函数更加扩展。
• 当 $ \alpha < 1 $ 时，类似扩展态的数量显著增加，尤其在能带中心附近，表明在 $ \alpha \to 0 $ 极限下，系统连续趋近于完全扩展态。
• 能带边缘附近局域化长度的异常增强无法通过简单地将无序强度重标度为 $ W \to W_{\text{eff}} $ 来解释，表明关联性以非平凡且能量依赖的方式影响了局域化态的本质。
• 结果与扩展哈里斯判据一致，证实 $ \nu $ 与 $ D $ 在关联系统中获得 $ \alpha $-依赖性，挑战了在具有长程关联的真实无序材料中 SPS 的普适性。