[论文解读] Single-Peaked Consistency for Weak Orders Is Easy

Zack Fitzsimmons|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2014

Decision-Making and Behavioral Economics被引用 10

一句话总结

本文证明了弱序下的单峰一致性——在三种变体（标准单峰、单平台和存在性单峰）下——可在多项式时间内求解。作者将每个一致性问题归约为0-1矩阵的连续1性质，从而利用PQ树算法实现高效计算，并展示了所有一致的轴均可被高效枚举。

ABSTRACT

In economics and social choice single-peakedness is one of the most important and commonly studied models for preferences. It is well known that single-peaked consistency for total orders is in P. However in practice a preference profile is not always comprised of total orders. Often voters have indifference between some of the candidates. In a weak preference order indifference must be transitive. We show that single-peaked consistency for weak orders is in P for three different variants of single-peakedness for weak orders. Specifically, we consider Black's original definition of single-peakedness for weak orders, Black's definition of single-plateaued preferences, and the existential model recently introduced by Lackner. We accomplish our results by transforming each of these single-peaked consistency problems to the problem of determining if a 0-1 matrix has the consecutive ones property.

研究动机与目标

• 解决弱序下单峰一致性的计算复杂性这一开放问题。
• 将单峰性模型扩展至弱序，包括布莱克原始定义及拉克纳的存在性模型。
• 证明弱序下三种单峰性变体均属于P类。
• 提供一个统一的算法框架，利用连续1性质检测一致的偏好轴。

提出的方法

• 将弱序的每种单峰性变体转化为选民偏好的0-1矩阵表示。
• 利用禁止子结构特征刻画偏好组合违反单峰性的条件。
• 将一致性问题归约为检查所构造的0-1矩阵是否具有连续1性质。
• 应用PQ树算法高效判断连续1性质。
• 扩展构造方法以处理包含平台的偏好，包括位于偏好的顶端的平台。
• 证明矩阵的连续1性质与每种变体下一致轴的存在性等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱序下的单峰一致性在计算上是否可 tractable？
• RQ2 单峰性存在性模型能否扩展至弱序并被高效求解？
• RQ3 弱序下的单平台模型是否允许多项式时间的一致性检查？
• RQ4 连续1性质能否作为弱序下多个单峰变体的统一框架？

主要发现

• 根据布莱克原始定义，弱序下的单峰一致性属于P类。
• 通过映射到连续1性质，弱序下的单平台一致性属于P类。
• 弱序下的存在性单峰一致性属于P类，解决了拉克纳（2014）提出的开放问题。
• 在矩阵变换后，可使用PQ树算法高效枚举给定偏好组合的所有一致轴。
• 该变换保持正确性：当且仅当其对应矩阵具有连续1性质时，偏好组合才是一致的。
• 本研究将先前针对全序的结果扩展至弱序，表明在这些领域限制下，偏好相等性不会增加计算复杂度。