[论文解读] Singmaster's conjecture in the interior of Pascal's triangle

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文在帕斯卡三角形的内部区域证明了辛马斯特猜想——即每个大于一的自然数在帕斯卡三角形中出现的次数至多有限次——具体针对二项式系数满足 $ m $ 满足 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n/2 $ 的情形，证明了当 $ t $ 足够大时，对于任意固定的 $ \varepsilon > 0 $，方程 $ \binom{n}{m} = t $ 至多有两个解。该结果被推广至下降阶乘情形，同样在该区域内证明至多有两个解。证明结合了解析数论、斯特林公式近似以及二项式系数逆函数的凸性论证，以控制解的重数。

ABSTRACT

Singmaster's conjecture asserts that every natural number greater than one occurs at most a bounded number of times in Pascal's triangle; that is, for any natural number $t \geq 2$, the number of solutions to the equation $\binom{n}{m} = t$ for natural numbers $1 \leq m < n$ is bounded. In this paper we establish this result in the interior region $\exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n-\exp(\log^{2/3 + \varepsilon} n)$ for any fixed $\varepsilon > 0$. Indeed, when $t$ is sufficiently large depending on $\varepsilon$, we show that there are at most four solutions (or at most two in either half of Pascal's triangle) in this region. We also establish analogous results for the equation $(n)_m = t$, where $(n)_m := n(n-1)\ldots(n-m+1)$ denotes the falling factorial.

研究动机与目标

• 证明对于任意固定的 $ \varepsilon > 0 $，在区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n/2 $ 内，方程 $ \binom{n}{m} = t $ 的解的个数至多为两个，且当 $ t $ 足够大时成立。
• 将结果推广至下降阶乘方程 $ (n)_m = t $，证明在相同内部区域中至多存在两个解。
• 在内部区域提供解重数的有效定量界，从而缩小二项式系数可能发生碰撞的搜索空间。
• 证明目前已知的二项式系数碰撞的无限家族（例如通过斐波那契恒等式构造的）与该猜想一致，并且预计不会再有其他此类家族存在。

提出的方法

• 使用斯特林公式近似估计逆函数 $ n = g_t(m) $，使得 $ \binom{n}{m} = t $，将 $ n $ 视为固定 $ t $ 时关于 $ m $ 的函数。
• 推导 $ g_t(m) $ 的一阶与二阶导数界，表明在内部区域有 $ g_t'(m) \asymp \frac{\log t}{m^2} $ 且 $ g_t''(m) \ll \frac{g_t(m)}{m^2} \left( \frac{\log t}{m^2} \right)^2 $。
• 应用泰勒展开与凸性论证，证明 $ g_t(m) $ 在内部区域至多有两个整数点满足 $ \binom{n}{m} = t $。
• 利用中值定理与对多伽马函数 $ \psi' $ 的界，控制 $ g_t(m) $ 的二阶导数，特别是在 $ m \approx n/2 $ 附近。
• 通过 $ n! = t \ell! $ 的逆函数 $ h_t(\ell) $ 分析下降阶乘情形，利用 $ h_t(\ell) $ 在小 $ \ell $ 时的缓慢变化性。
• 使用 2-adic 赋值论证，在 $ n - m \ll \log^2 t \log^2 t $ 的情形下排除三个解，通过证明 $ \ell $-差值的增长出现矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛马斯特猜想是否可在帕斯卡三角形的内部区域 $ m \asymp \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) $ 成立？
• RQ2 在区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n/2 $ 内，方程 $ \binom{n}{m} = t $ 的最大解数是多少？
• RQ3 能否在相同内部区域中为下降阶乘方程 $ (n)_m = t $ 建立相同的至多两个解的界？
• RQ4 是否存在除已知的斐波那契型与对称型之外的二项式系数相等 $ \binom{n}{m} = \binom{n'}{m'} $ 的无限解族？
• RQ5 能否在内部区域导出解重数的有效界，即使这些界对数值验证不够精确？

主要发现

• 对于任意固定的 $ \varepsilon > 0 $，且当 $ t $ 足够大（依赖于 $ \varepsilon $）时，在区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n/2 $ 内，方程 $ \binom{n}{m} = t $ 至多有两个解。
• 因此，在完整的对称内部区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n - \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) $ 内，解的个数至多为四个。
• 在更小的区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n/\exp(\log^{1-\varepsilon'} n) $ 内，当 $ 0 < \varepsilon' < \varepsilon / (2/3 + \varepsilon) $ 且 $ t $ 足够大时，至多存在一个解。
• 对于下降阶乘方程 $ (n)_m = t $，在区域 $ \exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m < n $ 内至多有两个解，且该界是紧的，因为存在一个涉及整数幂的无限解族作为反例。
• 在内部区域，逆函数 $ g_t(m) $ 的二阶导数满足 $ g_t''(m) \ll \frac{n}{m^2} \left( \frac{m}{n} \right)^3 \asymp \frac{\log^2 t}{m^2} $，该界支持基于凸性的解计数方法。
• 在 $ n - m \ll \log^2 t \log^2 t $ 的情形下，通过 2-adic 赋值论证排除了三个解，因为 $ \ell $-差值的增长出现矛盾，从而证明在超过两个解的情形下解的唯一性。