[论文解读] Singular connections, WZNW action, and moduli of parabolic bundles on the sphere

Claudio Meneses, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文利用正则化的威斯-祖米诺-诺维科夫-威滕（WZNW）泛函，在黎曼球面上稳定抛物向量丛的抛物度数为零的模空间的正则点集上构造了一个凯勒势。该势被证明是与黎曼-希尔伯特问题解相关的(1,0)-形式的原函数，从而在奇点联络、共形场论与抛物丛模空间之间建立了几何联系。

ABSTRACT

The moduli space of stable parabolic vector bundles of parabolic degree 0 over the Riemann sphere is considered. The vector bundle analog of the Klein's Hauptmodul is defined and the regular locus, a subset of bundles with minimal Birkhoff-Grothendieck decomposition and generic Bruhat type of the constant term at $\infty$, is introduced. For the restriction of the natural Kaehler metric to the regular locus a potential is constructed as the value of the regularized WZNW functional evaluated on singular Hermitian metrics in the corresponding vector bundles. It is shown that this potential is an antiderivative of a (1,0)-form on the regular locus, associated with a solution of the Riemann-Hilbert problem.

研究动机与目标

• 为黎曼球面上的抛物丛定义克莱因主模的向量丛类比。
• 引入并表征稳定抛物丛（抛物度数为零）模空间中的正则点集。
• 利用奇异赫米特度量上的正则化WZNW泛函，在该正则点集上构造凯勒势。
• 证明该势是与黎曼-希尔伯特问题解相关的(1,0)-形式的原函数。
• 通过奇异联络将模空间上的几何结构与共形场论及表示论相联系。

提出的方法

• 正则点集被定义为在无穷远处具有最小比尔科夫-格罗滕迪克分解和一般布罗瓦特类型的抛物丛子集。
• 对WZNW泛函进行正则化，并在相应向量丛中的奇异赫米特度量上计算，以生成凯勒势。
• 证明该势是在正则点集上有良好定义的函数，其来源于WZNW作用的渐近行为。
• 从与丛的单值性数据相关的黎曼-希尔伯特问题的解中构造一个(1,0)-形式。
• 证明该势是此(1,0)-形式的原函数，从而将几何与解析结构联系起来。
• 该构造依赖于抛物结构、全纯联络与模空间几何之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用共形场论工具（如WZNW泛函）在抛物丛模空间上构造凯勒势？
• RQ2 由最小比尔科夫-格罗滕迪克分解和无穷远处一般布罗瓦特类型所定义的正则点集具有何种几何意义？
• RQ3 在奇异赫米特度量上的正则化WZNW泛函如何与模空间上的微分形式相关联？
• RQ4 黎曼-希尔伯特问题的解以何种方式编码凯勒势的微分结构？
• RQ5 向量丛类比克莱因主模在组织模空间几何结构中起什么作用？

主要发现

• 在黎曼球面上稳定抛物丛（抛物度数为零）模空间的正则点集上，显式构造了一个凯勒势。
• 该势作为正则化WZNW泛函在相应向量丛中奇异赫米特度量上的取值而产生。
• 证明该势是通过黎曼-希尔伯特问题解定义的(1,0)-形式的原函数。
• 正则点集由最小比尔科夫-格罗滕迪克分解和无穷远处常数项的一般布罗瓦特类型表征。
• 该构造在奇点联络、共形场论与模空间的微分几何之间建立了直接联系。
• 引入了克莱因主模的向量丛类比，作为组织模空间结构的工具。