[论文解读] Singular control and optimal stopping of memory mean-field processes

Nacira Agram, Achref Bachouch+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了记忆型均值场SDE的最优奇异控制、反射型先进均值场后向SDE与最优停止问题之间的联系。证明了带记忆与均值场依赖的反射型AMBSDE解的存在性与唯一性，推导了在部分信息下记忆型均值场SDE最优奇异控制的必要与充分条件，并表明通过伴随过程与带记忆及均值场依赖的反射型BSDE构成的对偶表示，最优控制问题可等价于一个最优停止问题。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the following topics and the relation between them: (i) Optimal singular control of mean-field stochastic differential equations with memory, (ii) reflected advanced mean-field backward stochastic differential equations, and (iii) optimal stopping of mean-field stochastic differential equations. More specifically, we do the following: - We prove the existence and uniqueness of the solutions of some reflected advanced memory backward stochastic differential equations (AMBSDEs), - we give sufficient and necessary conditions for an optimal singular control of a memory mean-field stochastic differential equation (MMSDE) with partial information, and - we deduce a relation between the optimal singular control of a MMSDE, and the optimal stopping of such processes.

研究动机与目标

• 建立带记忆与均值场依赖的反射型先进均值场后向SDE解的存在性与唯一性。
• 推导在部分信息下记忆型均值场SDE最优奇异控制的充分与必要条件。
• 在记忆型均值场SDE背景下，展示最优奇异控制与最优停止问题之间的对偶关系。
• 通过包含伴随过程与记忆结构的统一数学框架，整合奇异控制、反射型BSDE与最优停止三个核心问题。

提出的方法

• 构建一个前向-后向系统，将记忆型均值场SDE与反射型先进均值场BSDE耦合。
• 应用随机最大值原理，推导在部分信息下最优奇异控制的必要与充分条件。
• 利用伴随过程与对偶性，通过带记忆与均值场项的反射型BSDE，将奇异控制问题与最优停止问题关联。
• 证明最优停止问题的价值过程对应于奇异控制设定中的伴随过程。
• 推导最优停止时间作为控制成本与伴随过程所定义边界的首次 hitting 时间的表达式。
• 运用随机分析中的高级工具，包括非适应SDE、均值场期望与路径相关随机微积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带记忆与均值场依赖的反射型先进均值场后向SDE存在唯一解？
• RQ2 在部分信息下，记忆型均值场SDE的最优奇异控制的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在记忆型均值场SDE背景下，最优奇异控制问题如何与最优停止问题相关联？
• RQ4 最优停止问题的价值过程能否通过奇异控制问题的伴随过程表示？
• RQ5 最优停止时间的显式形式如何以控制过程与伴随过程表示？

主要发现

• 本文证明了带记忆与均值场依赖的反射型先进均值场后向SDE类解的存在性与唯一性。
• 证明了最优奇异控制由一个包含伴随过程与带记忆及均值场项的反射型BSDE的前向-后向SDE系统刻画。
• 表明最优控制问题等价于一个最优停止问题，其中价值过程对应于伴随过程，停止时间是伴随过程首次触及由控制成本定义的边界的时刻。
• 最优停止时间被显式给出为累积控制过程首次超过某一阈值的时刻，或等价地，反射过程首次触及其边界的时刻。
• 通过伴随过程与反射型BSDE的生成器构成的对偶表示，形式化了奇异控制与最优停止之间的对偶关系。
• 在控制成本为常数且信息完全的情况下，最优停止时间为 $ \hat{\tau}_0 = \inf\{s \in [0,T], Y(s) \leq S(s)\} \wedge T $，其中 $ S(s) = \frac{1}{\lambda_0} \hat{h}(s) $。