[论文解读] Singular invariants and coefficients of weak harmonic Maass forms of weight 5/2

Nickolas Andersen|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文证明了全模群上权为5/2的弱谐Maass形式的系数由奇异不变量的迹给出——即虚二次域的奇异模数和实二次域上测地线的j-函数的环路积分。该研究统一并扩展了Bruinier–Ono（关于分拆函数）和Duke–Imamoğllu–Töth（关于环路积分）的先前结果，表明这些系数源于在CM点或其实二次类比点处，非全纯模形式的算术迹。

ABSTRACT

We study the coefficients of a natural basis for the space of weak harmonic Maass forms of weight $5/2$ on the full modular group. The non-holomorphic part of the first element of this infinite basis encodes the values of the partition function $p(n)$. We show that the coefficients of these harmonic Maass forms are given by traces of singular invariants. These are values of non-holomorphic modular functions at CM points or their real quadratic analogues: cycle integrals of such functions along geodesics on the modular curve. The real quadratic case relates to recent work of Duke, Imamoglu, and Tóth on cycle integrals of the $j$-function, while the imaginary quadratic case recovers the algebraic formula of Bruinier and Ono for the partition function.

研究动机与目标

• 理解权为5/2且其影形式为弱全纯模形式的模拟模形式系数的算术性质。
• 将谐Maass形式系数与奇异模数之间的已知联系扩展至包含实二次类比的环路积分。
• 在一个统一框架下，将分拆函数的代数公式（Bruinier–Ono）与环路积分公式（Duke–Imamoğllu–Töth）统一起来。
• 对SL₂(ℤ)上权为5/2的弱谐Maass形式空间的自然基的系数提供完整表征。

提出的方法

• 为SL₂(ℤ)上权为5/2的弱谐Maass形式空间构造一个自然基，其非全纯部分编码了分拆函数p(n)。
• 使用微分算子ξₖ将全纯部分（模拟模形式）与其影形式（权为-1/2的弱全纯模形式）联系起来。
• 应用涉及广义类特征χ_D与稳定子阶w_Q的迹公式，将系数表示为二次型等价类上的加权和。
• 通过Poincaré级数与贝塞尔函数理论，推导出j-函数在上半平面上测地线上的环路积分的显式公式。
• 通过K-贝塞尔函数与半整权模形式的使用，建立系数与L-函数特殊值之间的联系。
• 应用正则化技术与解析延拓，处理当dD为完全平方数时的发散环路积分，扩展了先前工作的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 SL₂(ℤ)上权为5/2的弱谐Maass形式的系数如何与奇异模数和环路积分等算术不变量相关？
• RQ2 分拆函数p(n)的代数公式能否在虚二次情形下作为奇异不变量的迹被恢复？
• RQ3 j-函数在模曲面上测地线上的环路积分如何与实二次情形下谐Maass形式的系数相关？
• RQ4 在包含虚二次与实二次贡献的权为5/2的谐Maass形式基中，系数的统一算术解释是什么？
• RQ5 当dD为完全平方数时，如何对发散的环路积分进行正则化，以在基中得到良定义的系数？

主要发现

• 在权为5/2的弱谐Maass形式自然基中，第一个元素的系数由分拆函数p(n)的值给出，这些值编码在该形式的非全纯部分中。
• 对于负判别式，系数为奇异模数的迹——即与正定二次型相关的CM点τ_Q处的代数整数J(τ_Q)。
• 对于正判别式，系数由j-函数在模曲面上闭测地线上的环路积分的加权和给出，对应于不定二次型。
• 本文提供了统一公式，插值了Bruinier–Ono公式（虚二次情形）与Duke–Imamoğllu–Töth公式（实二次情形），具有相同的迹结构。
• 系数通过涉及K-贝塞尔函数与广义类特征的迹公式表达，即使当dD为完全平方数时，也通过正则化保持有效。
• 该方法表明，系数源于在CM点或其实二次类比点处，非全纯模形式的算术迹，从而在模拟模形式与算术几何之间建立了完整的桥梁。