[论文解读] Singular Levi-flat hypersurfaces and codimension one foliations

Marco Brunella|ArXiv.org|Jan 22, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文建立了复流形中奇异Levi-平坦实解析超曲面的可解定理，证明其正则部分上的Levi叶状结构可通过到新复流形的全纯映射，在微观意义下实现全纯延拓。关键结果表明，此类叶状结构可提升至一个解析空间上的余维一全纯叶状结构，通过保持奇异集附近叶状结构的恰当全纯投影实现奇点的解析化。

ABSTRACT

We study Levi-flat real analytic hypersurfaces with singularities. We prove that the Levi foliation on the regular part of the hypersurface can be holomorphically extended, in a suitable sense, to neighbourhoods of singular points.

研究动机与目标

• 通过将奇异Levi-平坦实解析超曲面的Levi叶状结构全纯延拓至奇异集邻域，实现其奇点的解析化。
• 解决由于奇点和分支导致的Levi叶状结构全局全纯延拓障碍，尤其在标准全纯延拓失效的情况下。
• 利用到新复流形的全纯映射，建立Levi叶状结构的微观延拓，同时保持叶状结构。
• 将光滑Levi-平坦超曲面的经典情形（叶状结构可全局延拓）推广至奇异情形。

提出的方法

• 构造一个复维数为 $n$ 的复流形 $Y$，以及一个Levi-平坦实解析超曲面 $N \subset Y$，使得 $N_{\text{reg}}$ 上的Levi叶状结构可延拓为 $Y$ 上的余维一全纯叶状结构 $\mathcal{F}$。
• 定义全纯映射 $\pi: Y \to X$，使得对某个开集 $N_0 \subset N$，有 $\pi|_{N_0}: N_0 \to M_{\text{reg}}$ 是同构。
• 确保 $\pi|_{\overline{N_0}}: \overline{N_0} \to \overline{M_{\text{reg}}}$ 是一个恰当映射，从而在奇异集处保持叶状结构。
• 利用超曲面的复化 $N^{\mathbb{C}} \subset Z \times Z^*$ 分析纤维维数，并应用Remmert的秩定理控制纤维维数。
• 应用Zariski半连续性定理，识别出一个稠密的Zariski开子集 $\breve{N}^{\mathbb{C}} \subset N^{\mathbb{C}}$，其纤维维数恒为 $n-1$，确保行为的正则性。
• 证明 $N^{\mathbb{C}}$ 在投影 $\Pi$ 下的像是一个复解析集，维数为 $n$，并证明在一般点处的水平纤维包含该邻域在投影下的整个像，从而实现叶状结构的全局延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇异Levi-平坦实解析超曲面正则部分上的Levi叶状结构能否全纯延拓至其奇异集的邻域？
• RQ2 在存在奇点的情况下，Levi叶状结构全局全纯延拓的障碍本质是什么？
• RQ3 是否存在一个解析空间 $Y$ 和一个全纯映射 $\pi: Y \to X$，使得Levi叶状结构可提升为 $Y$ 上的余维一全纯叶状结构？
• RQ4 即使在标准延拓因分支或奇异集非稠密而失败时，是否仍能在微观或隐式意义下实现叶状结构的延拓？
• RQ5 超曲面的复化及其纤维结构与叶状结构延拓之间有何关系？

主要发现

• 奇异Levi-平坦实解析超曲面正则部分上的Levi叶状结构可全纯延拓为解析空间 $Y$ 上的余维一全纯叶状结构。
• 存在一个全纯映射 $\pi: Y \to X$，使得对某个开集 $N_0 \subset N$，有 $\pi|_{N_0}: N_0 \to M_{\text{reg}}$ 是同构，从而在正则部分上保持局部全纯微分同构。
• 映射 $\pi|_{\overline{N_0}}: \overline{N_0} \to \overline{M_{\text{reg}}}$ 是恰当的，意味着正则部分的闭包在解析空间中被恰当提升。
• 复化超曲面 $N^{\mathbb{C}}$ 的维数为 $2n-1$，投影 $\Pi: N^{\mathbb{C}} \to Z$ 的纤维维数在一般情形下为 $n-1$，仅在某个真复解析子集上出现更高维纤维。
• 在 $N_{\text{reg}}$ 的一般点处，水平纤维包含该邻域在投影下的整个像，从而确保叶状结构在 $Y$ 上全局延拓。
• 在标准全纯延拓失败的情形（例如由于分支），仍可通过解析化在微观意义下实现叶状结构的延拓，如示例1.2中隐式方程 $(dw/dz)^2 = 4w$ 所示。