[论文解读] Singular Lorentz-Violating Lagrangians and Associated Finsler Structures

Don Colladay, Patrick McDonald|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Differential Geometry Research被引用 3

一句话总结

本文提出一种去奇异化程序，以解决来自SME费米子 sector 的洛伦兹破缺拉格朗日量中的奇点，特别是由自旋依赖耦合引起的奇点。通过将奇异的芬斯勒函数提升至代数簇并应用爆破技术，该方法构建了一个全局光滑的类芬斯勒几何，其度量为半正定，从而在初始几何障碍存在的情况下，实现了粒子轨迹的一致经典模型。

ABSTRACT

Several lagrangians associated to classical limits of lorenz-violating fermions in the Standard Model extension (SME) have been shown to yield Finsler functions when the theory is expressed in Euclidean space. When spin-couplings are present, the lagrangian can develop singularities that obstruct the construction of a globally defined Legendre transformation, leading to singular Finsler spaces. A specific sector of the SME where such problems arise is studied. It is found that the singular behavior can be eliminated by an appropriate lifting of the problem to an associated algebraic variety. This provides a smooth classical model for the singular problem. In Euclidean space, the procedure involves combining two related singular Finsler functions into a single smooth function with a semi-positive definite quadratic form defined on a desingularized variety.

研究动机与目标

• 解决由于自旋耦合引起的拉格朗日量奇点导致的洛伦兹破缺理论中全局芬斯勒几何的失效问题。
• 解决由SME的bμ耦合导出的芬斯勒函数中非凸性与发散度量的问题。
• 通过将问题提升至去奇异化的代数簇，构建一个在奇异芬斯勒空间中全局光滑的粒子传播经典模型。
• 在存在显式洛伦兹破缺与自旋依赖项的情况下，实现经典粒子动力学的一致几何表述。

提出的方法

• 将来自闵可夫斯基空间的奇异芬斯勒函数F±转换至欧几里得空间，得到F±(y) = √(y²) ± √(b²y² − (b·y)²)。
• 将奇点集识别为第二个平方根为零的点集，导致非光滑性与度量退化。
• 将拉格朗日量表示为由芬斯勒函数导出的多项式方程P(L) = 0定义的代数簇。
• 在奇点附近使用新坐标应用爆破程序，以消除尖点并以新流形上的光滑结构替代之。
• 在去奇异化的簇上隐式定义一个新的类芬斯勒函数F，确保度量始终保持半正定。
• 使用两个图册覆盖奇点集，实现对先前被禁止的速度方向的光滑路径积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地解决源自自旋耦合洛伦兹破缺拉格朗日量的奇异芬斯勒函数，以获得全局光滑的几何模型？
• RQ2 当源自SME bμ项的奇异芬斯勒函数被提升至代数簇时，会涌现出何种几何结构？
• RQ3 如何在保持物理一致性的同时，消除芬斯勒度量的退化性与非凸性？
• RQ4 当标准勒让德变换失效时，能否为洛伦兹破缺费米子构建一致的经典射线极限？
• RQ5 拉格朗日方程的虚假解起什么作用？能否从物理上排除它们？

主要发现

• 由SME bμ耦合导出的奇异芬斯勒函数F±在b²y² = (b·y)²的点处发展出尖点与发散度量，阻碍了全局芬斯勒几何的建立。
• 通过将问题提升至由P(L) = 0定义的代数簇，利用爆破技术成功去除了奇点，形成光滑结构。
• 所得几何由一个在去奇异化流形上全局定义的类芬斯勒函数描述，尽管该函数为隐式定义且可能为多值。
• 在新流形上，度量处处为半正定，消除了先前阻碍物理轨迹的负定区域。
• 存在虚假解（例如L = −α√((b·u)²)），对应于固定动量的零速度态，但由于违反自旋守恒，这些解在物理上不可行。
• 该构造为洛伦兹破缺理论中的粒子传播提供了一致的经典模型，光滑路径可通过原奇点集，借助双图册实现。