[论文解读] Singular mean-field control games with applications to optimal harvesting and investment problems

Yaozhong Hu, Bernt Øksendal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文为带有模型不确定性的奇异均场随机控制博弈构建了一个理论框架，将最优控制与纳什均衡条件简化为带反射的Skorohod问题。在较弱假设下建立了解的存在性与唯一性，并将结果应用于模型不确定下的最优采收与不可逆投资问题，表明在某些情况下纳什均衡可能存在但不唯一。

ABSTRACT

This paper studies singular mean field control problems and singular mean field stochastic differential games. Both sufficient and necessary conditions for the optimal controls and for the Nash equilibrium are obtained. Under some assumptions the optimality conditions for singular mean-field control are reduced to a reflected Skorohod problem, whose solution is proved to exist uniquely. Applications are given to optimal harvesting of stochastic mean-field systems, optimal irreversible investments under uncertainty and to mean-field singular investment games. In particular, a simple singular mean-field investment game is studied where the Nash equilibrium exists but is not unique.

研究动机与目标

• 为带有模型不确定性的奇异均场随机控制问题建立充分必要最大值原理。
• 通过允许状态依赖系数与一般性能泛函，拓展现有的均场控制理论。
• 分析具有非对称信息的奇异均场随机微分博弈，并推导均衡条件。
• 将理论框架应用于现实世界问题，如在Knightian不确定性下的最优采收与不可逆投资。
• 证明奇异均场博弈中纳什均衡的存在性，同时表明其可能不唯一。

提出的方法

• 构建一个具有状态依赖漂移、扩散与控制系数的一般奇异均场控制问题。
• 利用随机分析与伴随倒向SDE，推导充分与必要最大值原理。
• 将最优性条件简化为带反射的Skorohod问题，在较弱正则性条件下证明解的存在性与唯一性。
• 将该框架应用于具有非对称信息的双人奇异均场博弈，以建模竞争性的投资或采收决策。
• 通过根据控制激励符号对时间区间进行划分，求解耦合的带反射Skorohod问题。
• 在控制激励符号保持不变的子区间上使用递归求解技术，实现均衡的显式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异均场控制问题存在唯一最优控制？
• RQ2 奇异均场控制的最优性条件如何可简化为Skorohod反射问题？
• RQ3 奇异均场随机微分博弈中纳什均衡的必要与充分条件是什么？
• RQ4 在何种情形下，奇异均场博弈中纳什均衡存在但不唯一？
• RQ5 如何通过均场控制将模型不确定性（Knightian）纳入不可逆投资与采收问题？

主要发现

• 奇异均场控制的最优性条件可简化为带反射的Skorohod问题，在较弱正则性假设下该问题存在唯一解。
• 在双人奇异均场博弈中，当双方均具有正激励时，纳什均衡存在但不唯一。
• 当双方均具有正控制激励时，任何将累积控制分解为两个非减过程且其和等于状态过程上确界的分解方式，均可构成纳什均衡。
• 求解方法依赖于将时间域划分为控制激励符号保持不变的区间，从而实现递归构造。
• 当仅一方具有正激励时，另一方的控制保持恒定，而活跃方的控制则持续增加以匹配状态过程。
• 该框架成功建模了在模型不确定性下的最优采收与不可逆投资问题，并实现了均衡的显式表征。