[论文解读] Singular Moduli of Shimura Curves

Eric Errthum|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明了判别数为6和10的希默拉曲线的坐标映射是向量值模形式的博赫尔斯提升，从而实现了对CM点处奇异模的有理数范数的显式代数计算。通过博赫尔斯的奇异乘积公式，本文验证并扩展了艾克尔斯（2006年）提出的猜想值，对任意大的负判别数的CM点实现了精确的有理数范数计算。

ABSTRACT

The $j$-function acts as a parametrization of the classical modular curve. Its values at complex multiplication (CM) points are called singular moduli and are algebraic integers. A Shimura curve is a generalization of the modular curve and, if the Shimura curve has genus 0, a rational parameterizing function exists and when evaluated at a CM point is again algebraic over $\mathbb{Q}$. This paper shows that the coordinate maps for the Shimura curves associated to the quaternion algebras with discriminants 6 and 10 are Borcherds lifts of vector-valued modular forms. This property is then used to explicitly compute the rational norms of singular moduli on these curves. This method not only verifies the conjectural values for the rational CM points, but also provides a way of algebraically calculating the norms of CM points on these Shimura curves with arbitrarily large negative discriminant.

研究动机与目标

• 对与判别数为6和10的四元数代数相关的希默拉曲线上的奇异模的有理数范数进行代数计算。
• 验证艾克尔斯（2006年）列出的CM点坐标猜想值，这些值基于数值近似。
• 将奇异模范数计算方法扩展至几何对合方法无法覆盖的更广泛情形。
• 证明这些曲线上坐标映射源于博赫尔斯提升，从而将其与自守形式和模表示理论联系起来。

提出的方法

• 通过将映射的极点与傅里叶系数加权的有理二次极点匹配，本文识别出 $ D=6 $ 和 $ D=10 $ 时的坐标映射 $ t_D: Σ^*_D \to \mathbb{P}^1 $ 为向量值模形式的博赫尔斯提升。
• 构造一个取值于 $ \mathbb{C}[L^\vee / L] $ 的亚纯模形式 $ F_D $，其傅里叶系数为整数，权为 $ 1 - n/2 $（其中 $ n=1 $），并满足 $ \text{div}(\Psi(F_D)^2) = \text{div}(t_D) $。
• 该方法应用了 Schofer 关于博赫尔斯提升范数的显式公式，从而计算出 $ \prod_{z \in Z(\Delta)} ||\Psi(z,F_D)||^2 $，该式即为奇异模的有理数范数。
• 通过基例和在选定点处已知的 $ t_D $ 值，计算归一化常数，确保提升与原始坐标映射一致。
• 向量值形式 $ F_D $ 由一个标量值模形式提升而来，该形式为戴德金Eta乘积的线性组合。
• 该方法可推广至 $ D=6 $ 和 $ D=10 $ 以外的情形，表明其适用于其他具有不定判别数的希默拉曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在几何对合方法无法覆盖的范围内，代数计算出判别数为6和10的希默拉曲线上奇异模的有理数范数？
• RQ2 艾克尔斯（2006年）列出的 $ \mathcal{X}^*_6 $ 和 $ \mathcal{X}^*_{10} $ 上CM点坐标的猜想值在数学上是否正确，并可否从自守形式中推导得出？
• RQ3 这些希默拉曲线的坐标映射是否为具有整数傅里叶系数的向量值模形式的博赫尔斯提升？
• RQ4 博赫尔斯与 Schofer 的范数公式能否用于计算具有任意大负判别数的CM点的精确有理数范数？
• RQ5 坐标映射的极点结构能否用模形式的傅里叶系数加权的有理二次极点来表达？

主要发现

• 证明了 $ \mathcal{X}^*_6 $ 和 $ \mathcal{X}^*_{10} $ 的坐标映射是向量值模形式的博赫尔斯提升，确认了其自守性质。
• 该方法代数验证了艾克尔斯（2006年）列出的CM点坐标的猜想值，将其解析地确定为精确的有理数。
• 在判别数 $ \Delta $ 处奇异模的有理数范数被计算为 $ \prod_{z \in Z(\Delta)} ||\Psi(z,F_D)||^2 $，并对 $ \Delta = -472, -488, -520, -532, -548, -552, -568, -580, -628, -632, -660, -680, -692, -708, -712, -728, -740, -760, -772, -788, -808, -820, -840, -852, -868, -872, -888, -920, -932, -948, -952 $ 推导出了显式的有理表达式。
• 当 $ \Delta = -163 $ 时，范数为 $ \frac{2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 11^3}{7^2 \cdot 13^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2} $，其第二共轭为 $ \frac{2 \cdot 19^2 \cdot 59^2 \cdot 79^2}{7^2 \cdot 13^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2} $，两者均通过代数方法验证。
• 该方法为计算具有任意大负判别数的CM点的范数提供了系统性方法，克服了数值近似与几何对合技术的局限。
• 该构造证实了格罗斯-扎吉尔关于奇异模的公式是 Schofer 关于博赫尔斯提升范数公式的特例。