[论文解读] Singular solutions for coercive quasilinear elliptic inequalities with nonlocal terms

Roberta Filippucci, Marius Ghergu|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 20

一句话总结

本论文通过Riesz势，建立了带加权m-拉普拉斯算子和非局部项的拟线性椭圆不等式正奇异解的精确存在性条件。利用先验估计、哈纳克不等式和卷积分析，推导出依赖于m、N、α、β、p、q的精确参数阈值——即奇异解存在的临界条件，并刻画了解在原点附近的渐近行为：或与基本解一致，或由临界指数σ控制的幂律奇异性。

ABSTRACT

We study the inequality $$ { m div}\big(|x|^{-\alpha}| abla u|^{m-2} abla u\big)\geq (I_\beta\ast u^p)u^q \quad\mbox{ in } B_1\setminus\{0\}\subset {\mathbb R}^N, $$ where $\alpha>0$, $N\geq 1$, $m>1$, $p, q>m-1$ and $I_\beta$ denotes the Riesz potential of order $\beta\in(0, N)$. We obtain sharp conditions in terms of these parameters for which positive singular solutions exist. We further establish the asymptotic profile of singular solutions to the double inequality $$ a(I_\beta\ast u^p)u^q\geq { m div}\big(|x|^{-\alpha}| abla u|^{m-2} abla u\big)\geq b(I_\beta\ast u^p)u^q \quad\mbox{ in } B_1\setminus\{0\}\subset {\mathbb R}^N, $$ where $a\geq b>0$ are constants.

研究动机与目标

• 研究在穿孔球体内带非局部项的拟线性椭圆不等式奇异解的存在性与渐近特征。
• 确定加权m-拉普拉斯算子与Riesz势组合的不等式中正奇异解存在的精确参数条件。
• 刻画解在原点附近的爆破行为，区分基本解型与更强幂律奇异性。
• 通过与Riesz势的卷积，将局部幂次型非线性项的结果推广至非局部相互作用。
• 给出关于m、N、α、β、p、q的精确阈值，以刻画解的存在性与渐近行为，推广已知的Choquard型方程结果。

提出的方法

• 基于Keller-Osserman型与哈纳克型不等式的先验估计，研究加权m-拉普拉斯不等式的解。
• 利用径向比较函数与最大值原理构造下解，并控制原点附近的增长。
• 通过涉及对数与幂权重积分的精确点态估计，分析卷积项(Iβ ∗ up)。
• 定义临界指数σ = (m + α + β)/(p + q − m + 1)，以分类解的渐近行为。
• 应用爆破分析与尺度变换，区分两种可能的奇异形式：与基本解Φm,α一致，或为|x|−σ的幂律奇异性。
• 利用技术性积分估计（引理2.10）控制Riesz势卷积，尤其在对数与奇异区域中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在B1 \ {0}中，不等式div(|x|−α|∇u|m−2∇u) ≥ (Iβ ∗ up)uq的正奇异解存在的精确参数条件（关于m、N、α、β、p、q）是什么？
• RQ2 奇异解的渐近行为如何依赖于非局部项(Iβ ∗ up)与加权m-拉普拉斯算子之间的相互作用？
• RQ3 在何种条件下，奇异解的行为类似于基本解Φm,α(x)，而在何种条件下表现出更强的|x|−σ形式的奇异性？
• RQ4 临界指数σ = (m + α + β)/(p + q − m + 1)在分类解的爆破形式中起什么作用？
• RQ5 对于双重不等式a(Iβ ∗ up)uq ≥ div(|x|−α|∇u|m−2∇u) ≥ b(Iβ ∗ up)uq，其解的渐近行为是否能完全由σ与参数表征？

主要发现

• 当N ≤ m + α时，只要q > m − 1，对所有参数均存在奇异解，与p和q无关。
• 当N > m + α时，奇异解存在的充要条件为(1.5)中三个条件同时成立：max{p, q} < N(m−1)/(N−m−α)，p + q < (N+β)(m−1)/(N−m−α)，且N − 2m < 2α + β。
• 对双重不等式(1.2)的任意奇异解，若σp < N，则其渐近行为必为Φm,α(x)或|x|−σ，具体取决于σp与β的相对大小。
• 若σp > β，则更强的奇异性为|x|−σ；若σp < β，则为|x|−(m+α)/(q−m+1)。
• 渐近行为与局部幂次型非线性项（如|x|−θuq）的结果一致，但非局部项使得爆破速率无法精确刻画。
• 通过引理2.10建立了Riesz势卷积的显式下界与上界，这对证明存在性与解的形态结果至关重要。