[论文解读] Singular solutions in optimal control: second order conditions and a shooting algorithm

M. Soledad Aronna|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2012

Optimization and Variational Analysis被引用 5

一句话总结

该论文为具有混合仿射与非线性控制的仿射最优控制问题中的弱最优性建立了‘无间隙’的二阶必要与充分条件。论文提出了一种打靶算法，其局部二次收敛性由充分二阶条件保证，扩展了奇异控制的数值方法，且无需假设乘子唯一性。

ABSTRACT

In this article we study optimal control problems for systems that are affine in one part of the control variable. Finitely many equality and inequality constraints on the initial and final values of the state are considered. We investigate singular optimal solutions for this class of problems. First, we obtain second order necessary and sufficient conditions for weak optimality. Afterwards, we propose a shooting algorithm and show that the sufficient condition above-mentioned is also sufficient for the local quadratic convergence of the algorithm.

研究动机与目标

• 推导最优控制问题中部分控制变量为仿射时的弱最优性二阶必要与充分条件。
• 通过提供理论支持，解决现有打靶方法在奇异控制问题中缺乏收敛保证的问题。
• 将数值算法扩展至处理奇异最优控制问题，且无需假设拉格朗日乘子的唯一性。
• 建立二阶充分条件与打靶方法局部收敛性质之间的联系。

提出的方法

• 论文使用Goh变换重新表述最优性的二阶条件。
• 通过分析拉格朗日函数的二阶变分的非负性，推导出新的二阶必要条件。
• 提出一种打靶算法，用于求解由一阶最优性条件导出的两点边值问题。
• 证明在所提出的二阶充分条件下，该算法具有局部且二次收敛性。
• 该方法利用高斯-牛顿框架求解由最优性条件导出的非线性方程组。
• 通过Goh变换实现原始变量与辅助变量之间的转换，使得在更易处理的形式下推导出等价的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有仿射与非线性控制的最优控制问题中，弱最优性的二阶必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何设计并证明此类奇异控制问题的打靶算法具有局部收敛性？
• RQ3 二阶充分条件能否作为打靶方法局部二次收敛性的充分条件？
• RQ4 Goh变换在推导与验证二阶最优性条件中起什么作用？
• RQ5 所提出的方法如何推广至具有控制边界约束的问题？

主要发现

• 论文建立了一对‘无间隙’的二阶条件——必要与充分条件，即充分条件通过收紧一个不等式来强化必要条件。
• 二阶充分条件确保了所提打靶算法的局部二次收敛性，为其实数性能提供了理论依据。
• 该结果在不假设拉格朗日乘子唯一性的前提下成立，扩大了在乘子不唯一情况下的适用范围。
• 当满足二阶充分条件时，证明了打靶算法具有局部收敛性，且收敛速度由二次速率决定。
• 在适当的几何假设下，该方法可扩展至具有控制边界约束的问题，如扩展说明所示。
• 通过在特殊情形（如 m=0 或 l=0）下验证所推导条件与现有结果的一致性，理论框架得到了验证。