[论文解读] Singular solutions of a fully nonlinear 2x2 system of conservation laws

Henrik Kalisch, Darko Mitrović|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了完全非线性2×2守恒律系统（Brio系统）中压缩型δ-冲击解的存在性与可容许性，该系统在某些黎曼问题下缺乏经典Lax可容许解。通过在弱渐近法中引入复值修正项，作者构造了收敛于实值δ-冲击解的近似解，证明了当δ-分布与非线性耦合变量u相关联时，任意2×2守恒律系统均存在此类奇异解。

ABSTRACT

Existence and admissibility of $δ$-shock type solution is discussed for the following nonconvex strictly hyperbolic system arising in studues of plasmas: \pa_t u + \pa_x \big(\Sfrac{u^2+v^2}{2} \big) &=0 \pa_t v +\pa_x(v(u-1))&=0. The system is fully nonlinear, i.e. it is nonlinear with respect to both variables. The latter system does not admit the classical Lax-admissible solution to certain Riemann problems. By introducing complex valued corrections in the framework of the weak asymptotic method, we show that an compressive $δ$-shock type solution resolves such Riemann problems. By letting the approximation parameter to zero, the corrections become real valued and we obtain a $δ$-type solution concept. In the frame of that concept, we can show that every $2 imes 2$ system of conservation laws admits $δ$-type solution.

研究动机与目标

• 解决Brio系统中某些黎曼问题下经典Lax可容许解不存在的问题。
• 建立在通量关于两个未知量均非线性时，完全非线性2×2系统中δ-冲击解的存在性。
• 证明可通过弱渐近法中的复值修正项构造δ-冲击解。
• 表明在此系统中，δ-分布自然归属于变量u而非v，与先前结果形成对比。

提出的方法

• 将弱渐近法扩展至包含近似解中的复值修正项。
• 通过趋于零的分布族定义分布意义下的弱渐近解。
• 将该方法应用于Brio系统：∂ₜu + ∂ₓ((u²+v²)/2) = 0, ∂ₜv + ∂ₓ(v(u−1)) = 0。
• 通过定义4.1中的熵条件施加可容许性条件，确保激波速度介于特征速度之间。
• 将解构造为复值近似解的极限，当ε→0时收敛于实值δ-冲击解。
• 通过与[12]中定义的弱奇异解框架的一致性验证了解的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典Lax可容许解失效时，Brio系统中δ-冲击解是否可能存在？
• RQ2 为何在此完全非线性系统中，δ-分布自然与u而非v相关联？
• RQ3 当通量关于两个未知量均非线性时，弱渐近法能否扩展以构造奇异解？
• RQ4 在该类系统中，使用复值修正项是否对构造δ-冲击解至关重要？
• RQ5 在此框架下，是否每个2×2守恒律系统均存在δ-冲击解？

主要发现

• 对于经典解失效的某些黎曼初值，Brio系统中存在压缩型δ-冲击解。
• 由于系统具有完全非线性结构，δ-分布自然归属于变量u而非v。
• 当通量关于两个未知量均非线性时，弱渐近法中的复值修正项对构造解至关重要。
• 该方法在逼近参数ε→0的极限下产生实值δ-冲击解。
• 在所提出的框架下，每个2×2守恒律系统均存在δ-冲击解。
• 观察到δ-冲击解的非唯一性，但未提供物理依据以排除此类解。