[论文解读] Singular stochastic equations on Hilbert spaces: Harnack inequalities for their transition semigroups

Giuseppe Da Prato, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间上具有仅可测且未必满足利普希茨条件的漂移项的奇异随机微分方程转移半群的哈纳克不等式。通过采用约西达逼近并利用科尔莫戈罗夫算子的结构，作者证明了该半群的正则化与超有界性性质，并在温和可积条件下建立了无穷小不变测度的唯一性与存在性。

ABSTRACT

We consider stochastic equations in Hilbert spaces with singular drift in the framework of [Da Prato, Röckner, PTRF 2002]. We prove a Harnack inequality (in the sense of [Wang, PTRF 1997]) for its transition semigroup and exploit its consequences. In particular, we prove regularizing and ultraboundedness properties of the transition semigroup as well as that the corresponding Kolmogorov operator has at most one infinitesimally invariant measure $μ$ (satisfying some mild integrability conditions). Finally, we prove existence of such a measure $μ$ for non-continuous drifts.

研究动机与目标

• 建立希尔伯特空间上具有非利普希茨漂移项的奇异随机方程转移半群的哈纳克不等式。
• 研究相关转移半群的正则性与超有界性性质。
• 在温和可积条件下证明无穷小不变测度的唯一性。
• 通过逼近技术建立非连续漂移情况下此类不变测度的存在性。
• 在漂移项满足适当的生长条件时，将结果推广至噪声算子σ非希尔伯特-施密特的情形。

提出的方法

• 采用[7]的框架，研究希尔伯特空间上具有m-余 dissipative漂移项及有界、自伴、正定噪声算子σ的奇异SDE。
• 应用约西达逼近以正则化漂移项，并构造具有光滑系数的逼近SDE序列。
• 基于科尔莫戈罗夫算子，利用耦合与梯度估计推导转移半群的哈纳克不等式。
• 在$ \fancyscript{E}_A(H) $（实部指数函数的线性张成）上使用科尔莫戈罗夫算子$ L_0 $，以分析无穷小不变性。
• 利用条件$ \int_H (1+|x|^2)(1+|F_0(x)|) \mu(dx) < \infty $以确保无穷小不变测度的存在性。
• 通过函数$ \Theta(x) = \sum \frac{\lambda_i}{q_i} \langle x,e_i\rangle^2 $应用紧致性论证与一致矩界，证明不变测度的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非利普希茨漂移项的希尔伯特空间上奇异SDE的转移半群建立哈纳克不等式？
• RQ2 在哈纳克不等式下，转移半群表现出何种正则性性质（如光滑性、超有界性）？
• RQ3 在何种温和可积条件下，科尔莫戈罗夫算子的无穷小不变测度是唯一的？
• RQ4 在何种漂移项与生成元条件下，非连续漂移情况下不变测度存在？
• RQ5 约西达逼近方法如何用于将无限维SDE中光滑漂移结果推广至奇异漂移情形？

主要发现

• 奇异SDE的转移半群满足哈纳克不等式，意味着转移核关于不变测度绝对连续。
• 转移半群$ P_t^\mu $具有正则化与超有界性，其界为$ \|p_t^\mu f\|_{L^\infty(H,\mu)} \leq \frac{e^{\omega t}}{\sqrt{t \wedge 1}} \|f\|_0 \|\sigma^{-1}\| \|f\|_{L^1(H,\mu)} $。
• 在可积条件$ \int_H (1+|x|^2)(1+|F_0(x)|) \mu(dx) < \infty $下，科尔莫戈罗夫算子$ L_0 $的无穷小不变测度$ \mu $是唯一的。
• 在增长条件$ |F_0(x)| \leq C(1 + |x|^m + \Theta^{1/2}(x)) $下，逼近测度序列$ \mu_\alpha $的$ \Theta $-矩具有统一有界性，从而保证了紧致性。
• 通过约西达逼近与一致矩估计，建立了非连续漂移情况下不变测度$ \mu $的存在性。
• 条件$ \sup_{\alpha \in (0,\alpha_0)} \int_H \Theta d\mu_\alpha < \infty $是不变测度存在的充分条件，当算子$ A $的特征值相对于漂移增长足够快时，该条件成立。