[论文解读] Singular traces, dimensions, and Novikov-Shubin invariants

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|Jul 1, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过 |D|⁻ᵈ 的奇异迹，以几何测度论的方式建立了维度 d 的定义，表明 d 由 |D|⁻¹ 特征值的多项式衰减速率唯一确定。此外，本文证明了覆盖流形的诺维科夫-舒宾不变量 αₚ 与 Δₚ⁻¹/² 在零点处的多项式阶的倒数一致，将其与奇异迹性联系起来，并在对数迹失效时仍提供非平凡的积分过程。

ABSTRACT

In Alain Connes noncommutative geometry, the question of the existence of a non-trivial integral can be described in terms of the singular traceability of the compact operator |D|^(-d), D being the Dirac operator, namely of the existence of a finite non-trivial singular trace on the ideal generated by |D|^(-d). A condition on the non triviality of the Dixmier logarithmic trace on the above mentioned ideal has been given by Connes in terms of the cohomological dimension of the Chern character of the phase of D. In this paper we show that, under suitable regularity conditions on the eigenvalue sequence of |D|, the dimension d can be uniquely determined by imposing that |D|^(-d) is singularly traceable, thus providing a geometric measure theoretic definition for d. More precisely, defining d as the inverse of the polynomial order of |D|^(-1), the operator |D|^(-d) always produces a singular trace which gives rise to a non-trivial integration procedure, even when the logarithmic trace fails. In the second part of the paper we discuss large scale counterparts of the geometric measure theoretic dimension for the case of covering manifolds. We prove that in the case of the coverings studied by Atiyah, the inverse of the polynomial order at 0 of Delta_p^(-1/2), defined via the Atiyah trace, coincides with the Novikov-Shubin number alpha_p. As a consequence, Novikov- Shubin numbers can be considered as (asymptotic) dimensions in the sense of geometric measure theory, since the corresponding power of Delta_p^(-1/2) produces a singular trace. Generalizations of the mentioned results on covering manifolds to the case of open manifolds with bounded geometry are studied in math/9809040

研究动机与目标

• 通过 |D|⁻ᵈ 的奇异迹性，在非交换几何中定义维度 d，且独立于康奈斯的对数迹条件。
• 将 d 解释为 |D|⁻¹ 特征值衰减的多项式阶的倒数，提供几何测度论的解释。
• 通过将诺维科夫-舒宾不变量与覆盖流形上的奇异迹联系起来，将维度概念推广至大尺度几何。
• 证明 Δₚ⁻¹/² 在零点处的多项式阶的倒数等于诺维科夫-舒宾数 αₚ，从而将 αₚ 识别为渐近维度。

提出的方法

• 将 d 定义为 |D|⁻¹ 特征值衰减的多项式阶的倒数，以确保 |D|⁻ᵈ 具有奇异迹性。
• 利用阿蒂亚迹定义覆盖流形上预解式 Δₚ⁻¹/² 的渐近行为。
• 建立 Δₚ⁻¹/² 的奇异迹在 -αₚ⁻¹ 次幂下非平凡，从而将其与诺维科夫-舒宾不变量联系起来。
• 对 |D| 的特征值序列施加正则性条件，以保证奇异迹的唯一性与有限性。
• 利用陈示性类与上同调维数，将迹的非平凡性与拓扑不变量联系起来。
• 将覆盖流形上的结果推广至具有有界几何的开流形，如 math/9809040 所探讨。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换几何中，维度 d 是否可以不依赖于对数迹，而通过奇异迹性来定义？
• RQ2 |D|⁻¹ 特征值的多项式衰减速率的倒数是否足以使 |D|⁻ᵈ 的奇异迹非平凡？
• RQ3 覆盖流形的诺维科夫-舒宾数 αₚ 是否等于 Δₚ⁻¹/² 在零点处多项式阶的倒数？
• RQ4 覆盖流形上的奇异迹是否可用于定义渐近几何测度论维度？
• RQ5 |D|⁻ᵈ 的奇异迹性如何与 D 的相位的陈示性类的上同调维数相关？

主要发现

• 维度 d 被唯一确定为 |D|⁻¹ 特征值衰减多项式阶的倒数，从而确保 |D|⁻ᵈ 具有奇异迹性。
• 即使迪克曼对数迹为零，根据所提定义，|D|⁻ᵈ 的奇异迹仍保持非平凡。
• 在阿蒂亚的覆盖流形中，Δₚ⁻¹/² 在零点处多项式阶的倒数等于诺维科夫-舒宾数 αₚ。
• 诺维科夫-舒宾数 αₚ 通过奇异迹性被识别为几何测度论中的渐近维度。
• 奇异迹过程在对数迹失效时，仍为 |D|⁻ᵈ 生成的理想提供非平凡的积分方法。
• 结果可推广至具有有界几何的开流形，将框架从覆盖空间扩展至更广范围。