[论文解读] Singular Tur\'an numbers and WORM-colorings

Dániel Gerbner, Balázs Patkós+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文确定了所有满足 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 和 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 的 $n$ 的精确单奇异 Turán 数 $T_S(n, K_3)$，并证明了当 $n$ 足够大且被 $r$ 整除时，$T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$，解决了此前仅知渐近结果的精确值问题。此外，本文将单奇异 Turán 数与 $H$-WORM 色彩染色联系起来，并引入了正则 Turán 问题，证明了对于非二分图 $F$，$\mathrm{rex}(n,F)$ 存在二次下界。主要贡献在于填补了精确单奇异 Turán 数的空白，并将其与 WORM 色彩染色及正则图极值问题相联系。

ABSTRACT

A subgraph $H$ of $G$ is \ extit{singular} if the vertices of $H$ either have the same degree in $G$ or have pairwise distinct degrees in $G$. The largest number of edges of a graph on $n$ vertices that does not contain a singular copy of $H$ is denoted by $T_S(n,H)$. Caro and Tuza [Theory and Applications of Graphs, 6 (2019), 1--32] obtained the asymptotics of $T_S(n,H)$ for every graph $H$, but determined the exact value of this function only in the case $H=K_3$ and $n\\equiv 2$ (mod 4). We determine $T_S(n,K_3)$ for all $n\\equiv 0$ (mod 4) and $n\\equiv 1$ (mod 4), and also $T_S(n,K_{r+1})$ for large enough $n$ that is divisible by $r$. We also explore the connection to the so-called $H$-WORM colorings (colorings without rainbow or monochromatic copies of $H$) and obtain new results regarding the largest number of edges that a graph with an $H$-WORM coloring can have.

研究动机与目标

• 确定所有满足 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 和 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 的 $n$ 的单奇异 Turán 数 $T_S(n, K_3)$ 的精确值，扩展了此前的渐近结果。
• 为足够大的被 $r$ 整除的 $n$ 确定 $T_S(n, K_{r+1})$ 的精确值，解决了长期存在的单奇异 Turán 数精确值空白。
• 探索单奇异 Turán 数与 $H$-WORM 色彩染色之间的联系，特别是用于界定具有此类染色的图中边数的最大值。
• 启动正则 Turán 问题的研究，将 $\mathrm{rex}(n,F)$ 定义为 $n$ 个顶点上 $F$-自由正则图的最大边数。

提出的方法

• 通过改进的上界估计（利用 Turán 定理并分析 $K_5$-自由图的结构）证明 $T_S(n, K_3)$ 的精确值。
• 通过构造部分大小受控的完全 $r^2$-部图作为极值图，实现当 $n$ 足够大且被 $r$ 整除时，$T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$。
• 利用 $K_{r^2+1}$-自由图是避免单奇异 $K_{r+1}$ 的必要条件，并以 Turán 图作为基础构造。
• 引入 $T^*(n,r)$，即一个部分大小互不相同的完全 $r$-部图，用于构造不含单色或彩虹 $H$ 的 $H$-WORM 色彩染色。
• 在各部分内部添加正则 $F$-自由图，以保持染色完整性并避免部分之间的度数冲突。
• 应用 Erdős–Sachs 定理构造高圈长正则图，从而为 $F$ 的奇圈长为 $g$ 的情形建立 $\mathrm{rex}(n,F)$ 的二次下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 和 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 的 $n$，$T_S(n, K_3)$ 的精确值是多少？这超越了已知的渐近界。
• RQ2 对于哪些 $n$ 和 $r$，$T_S(n, K_{r+1})$ 恰好等于 $t'(n, r^2)$，即不含单奇异 $K_{r+1}$ 的完全 $r^2$-部图的最大边数？
• RQ3 单奇异 Turán 数与 $H$-WORM 色彩染色之间有何关联？一个问题的极值图能否用于界定另一个问题的边界？
• RQ4 在 $n$ 个顶点上，$F$-自由正则图的最大边数是多少？这与极值图论有何关联？
• RQ5 当 $F$ 为非二分图时，能否为 $\mathrm{rex}(n,F)$ 建立二次下界？其依赖于 $F$ 的奇圈长如何？

主要发现

• 当 $n = 4k$ 且 $k \geq 2$ 时，$T_S(4k, K_3) = 6k^2 - 2$，且 $T_S(4, K_3) = 5$，填补了 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 情况下的空白。
• 当 $n = 4k+1$ 时，$T_S(4k+1, K_3) = 6k^2 + 2k$，给出了该同余类的精确值。
• 当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时，边界被收紧为 $6k^2 + 8k + 1 \leq T_S(4k+3, K_3) \leq 6k^2 + 8k + 3$，差距缩小至 2。
• 当 $n$ 足够大且被 $r$ 整除时，$T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$，其中 $t'(n, r^2)$ 是部分大小最多相差 $r$ 的 $r^2$-部图中边数的最大值，且有 $r$ 个部分大小，每个大小出现 $r$ 次。
• 通过构造 $T^*(n,r)$ 为部分大小互异的完全 $r$-部图，确保顶点度数诱导出有效的 $H$-WORM 色彩染色，从而为 $\mathrm{wex}(n,F)$ 建立新边界。
• 对于任意非二分图 $F$ 且其奇圈长为 $g$，有 $\mathrm{rex}(n,F) \geq n^2/(g+6) - O(n)$，为正则 Turán 问题建立了二次下界。