[论文解读] Singularities and Characteristic Classes for Differentiable Maps

Toru Ohmoto|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出一个框架，将 Thom 多项式推广至使用等变上同调和商类的通用多项式，以计算全纯映射奇异点的特征类——特别是 Chern-Schwartz-MacPherson (CSM) 类。关键贡献是为加权齐次映射芽中 $\alpha$-奇异点提出一种计算判别式 Milnor 数的新方法，得到了 $m=2,3$ 的显式公式，恢复并扩展了奇点理论中的已知结果。

ABSTRACT

This is a note on my mini-course in the International Workshop on Real and Complex Singularities held at ICMC-USP (Sao Carlos, Brazil) in July 2012. Here we introduce a new branch of the Thom polynomial theory for singularities of holomorphic maps, in which we replace counting singular points by computing weighted Euler characteristics. The main purpose is to apply this theory to the study on the vanishing topology of weighted homogeneous map-germs of finite A-codimension without any corank condition.

研究动机与目标

• 将经典的 Thom 多项式理论推广，以计算全纯映射中奇异点的特征类。
• 开发一种系统方法，利用 CSM 类计算欧拉示性数和 Milnor 数等拓扑不变量。
• 为稳定映射中多重奇异点的加权欧拉示性数和 Milnor 数提供通用公式。
• 将该框架应用于计算二维和三维中 $\mathcal{A}$-有限映射芽的判别式 Milnor 数 $\mu_{\Delta}$。
• 基于等变 Chern 类和 Segre-SM 类的生成函数，建立有效的计算工具。

提出的方法

• 本文引入一个高阶 Thom 多项式 $tp^{\rm SM}(\overline{\eta})$，通过商类 $c_i(f) = c_i(f^*TN - TM)$ 的幂级数，普遍表达 $\eta$-奇异点的 CSM 类。
• 利用等变 CSM 类形式化（定理 3.13），通过代数 Borel 构造，推导奇异点不变量的通用表达式。
• 该方法利用基本类与 CSM 类之间的对偶性，以 $\operatorname{Dual}\,c^{\rm SM}(\overline{\eta}(f)) = c(TM) \cdot tp^{\rm SM}(\overline{\eta})$ 为核心方程。
• 对于 $A_1$（横截点）和一般横截等特定奇异点，通过 Segre-SM 类生成函数计算像类与判别类。
• 通过局部化全局不变量（利用环面作用）并将加权欧拉示性数积分化，将该方法应用于稳定映射 $f: M \to N$。
• 通过判别 Segre-SM 类 $tp^{\rm SM}(\alpha_{\rm dis})$ 的低阶项，利用类似留数的提取方法，推导出 $\mu_\Delta$ 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Thom 多项式推广，以计算超越基本类的奇异点特征类？
• RQ2 在稳定映射中，$\eta$-奇异点的 Chern-Schwartz-MacPherson 类的通用表达式是什么？
• RQ3 能否通过奇异点的特征类计算 $\mathcal{A}$-有限映射芽的判别式 Milnor 数 $\mu_\Delta$？
• RQ4 奇异点的加权欧拉示性数与映射的商类 Chern 类有何关系？
• RQ5 加权齐次映射芽 $\mathbb{C}^3,0 \to \mathbb{C}^3,0$ 的判别式 Milnor 数的显式公式是什么？

主要发现

• 当 $m=2$ 时，加权齐次映射芽 $\mathbb{C}^2,0 \to \mathbb{C}^2,0$ 的判别式 Milnor 数为 $\mu_\Delta = \frac{1}{2w_1^2w_2^2}(d_1d_2 - 2w_1w_2)(d_1^2 + d_2^2 + w_1^2 + 2d_1(d_2 - w_1 - w_2) + w_2^2 - 2d_2(w_1 + w_2))$，以新方法恢复了 Gaffney-Mond 的结果。
• 当 $m=3$ 时，推导出 $\mu_\Delta$ 的新通用公式，其为权重 $w_1,w_2,w_3$ 和次数 $d_1,d_2,d_3$ 的有理函数，关于 $d_i$ 的多项式次数为 5，关于 $w_i$ 的次数为 3，适用于余维一芽。
• 在 $m=3$ 情况下，$\mu_\Delta$ 的公式与已知 $\mathcal{A}$-分类类型的计算结果一致，例如 $(x^2 + y^2 + xz, xy, z)$ 的 $\mu_\Delta = 1$，以及 $(x^9 + y^2 + xz, xy, z)$ 的 $\mu_\Delta = 183$。
• 本文建立了多奇异点 Segre-SM 类的生成函数，使在具有普通奇异点的射影 3-流形中计算奇异点的加权欧拉示性数成为可能。
• 该框架通过在正规化 $M$ 上的积分计算奇异曲面 $X \subset \mathbb{P}^3$ 的 $\chi(X)$，涉及 $c_1(TM), c_2(TM), c_1, c_2, s_0 = f^*f_*(1), s_1 = f^*f_*(c_1)$，并给出有理系数表达式。
• 该方法成功通过从幂级数 $tp^{\rm SM}(\alpha_{\rm dis})$ 中提取留数 $[\cdots]_3$ 计算判别式 Milnor 数，与已知不变量一致。