[论文解读] Singularities from the Topology and Differentiable Structure of Asymptotically Flat Spacetimes

Kristin Schleich, Donald Witt|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Geometric and Algebraic Topology被引用 10

一句话总结

本文為五維或以上、漸近平坦的時空建立了新的奇點定理，證明在主要能量條件下，若初始資料的 maximal Yamabe 不變量非正（透過光滑緊化定義），則時空必會塌縮形成奇點。此結果適用於具有非平凡拓撲或微分結構的時空，包括單連通流形及 Seiberg-Witten 不變量非零的流形，超越了以往僅適用於非單連通柯西面的奇點定理（如 Gannon 的結果）。

ABSTRACT

We prove that certain asymptotically flat initial data sets with nontrivial topology and/or differentiable structure collapse to form singularities. The class of such initial data sets is characterized by a new smooth invariant, the maximal Yamabe invariant, defined through smooth compactification of the asymptotically flat manifold. Our singularity theorem applies to spacetimes admitting a Cauchy surface of nonpositive maximal Yamabe invariant with initial data that satisfies the dominant energy condition. This class of spacetimes includes simply connected spacetimes with a single asymptotic region, a class not covered by prior singularity theorems for topological structures. The maximal Yamabe invariant can be related to other invariants including, in 4 dimensions, the A-genus and the Seiberg-Witten invariants. In particular, 5-dimensional spacetimes with asymptotically flat Cauchy surfaces with non-trivial Seiberg-Witten invariants are singular. This singularity is due to the differentiable structure of the manifold.

研究动机与目标

• 解決五維或以上漸近平坦時空中，非平凡拓撲與微分結構是否會導致奇點形成的開放問題。
• 將奇點定理推廣至超越 Gannon 結果的範疇，後者僅適用於四維中非單連通的三維流形。
• 定義並運用漸近平坦流形的 maximal Yamabe 不變量作為光滑不變量，以描述易形成奇點的時空。
• 展示奇點不僅可由拓撲引起，亦可由「異常」微分結構引起，此為廣義相對論中全新的機制。
• 建立條件，使外域（domain of outer communications）必具有正的 maximal Yamabe 不變量，或可導致加強版的拓撲 censorship 定理。

提出的方法

• 透過光滑緊化定義漸近平坦流形的 maximal Yamabe 不變量：在每個漸近區域附加 n-球，形成封閉流形，再取所得封閉流形的 Yamabe 不變量。
• 將 maximal Yamabe 不變量作為光滑不變量以分類初始資料集，非正值表示可能形成奇點。
• 證明針對柯西面具有非正 maximal Yamabe 不變量且滿足主要能量條件之時空的新奇點定理（定理 10）。
• 將 maximal Yamabe 不變量與四維中已知不變量（如 Â-特徵式與 Seiberg-Witten 不變量）連結，以對接現有微分拓撲理論。
• 將定理應用於具有非平凡 Seiberg-Witten 不變量的五維時空，證明其必為奇點。
• 運用 Gromov-Lawson 與 Stolz 對正 scalar curvature 障礙的研究成果，分析高維中異常球面及其緊化形式的行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 在五維或以上、具有非平凡拓撲或微分結構的時空中，即使柯西面為單連通，是否仍會因塌縮而形成奇點？
• RQ2 透過光滑緊化定義的 maximal Yamabe 不變量，是否足以作為漸近平坦時空中奇點形成的充分條件？
• RQ3 奇點是否可單獨由柯西面的微分結構引起，而不依賴其基本群？
• RQ4 maximal Yamabe 不變量在四維中與拓撲不變量（如 Â-特徵式與 Seiberg-Witten 不變量）有何關聯？
• RQ5 定理 10 是否可加強至推導出外域必具有正 maximal Yamabe 不變量，類比於拓撲 censorship 定理？

主要发现

• 本文證明了五維或以上漸近平坦時空的新型奇點定理（定理 10），適用於柯西面具有非正 maximal Yamabe 不變量且滿足主要能量條件之情形。
• maximal Yamabe 不變量透過漸近平坦流形的光滑緊化定義，使 Yamabe 理論得以延伸至非緊設定。
• 在四維中，maximal Yamabe 不變量與 Â-特徵式及 Seiberg-Witten 不變量相關，使該定理能檢測具有非平凡 Seiberg-Witten 不變量的時空中的奇點。
• 該定理適用於無限多組單連通的五維時空，超越了 Gannon 定理的範疇（後者要求基本群非平凡）。
• 奇點可由「異常」微分結構引起，此為先前僅基於拓撲的定理所無法捕捉的新機制。
• 該定理暗示當 maximal Yamabe 不變量非正時，每一柯西面皆存在視界（apparent horizon），其條件強於 Gannon 定理中的設定。