[论文解读] Singularities in mixed characteristic via big Cohen-Macaulay algebras

Linquan Ma, Karl Schwede|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文利用大科恩-麦克拉姆代数，引入了有理奇点、$F$-有理奇点、对数终端奇点和$F$-正则奇点的混合特征类比，借助关于弱函子性完美oid代数的最新结果。本文建立了这些奇点的形变与限制定理，并将其应用于证明算术族中$F$-正则与$F$-有理奇点的新结果。

ABSTRACT

We utilize a recent result of Andr\'e and Gabber on the existence of weakly functorial (integral perfectoid) big Cohen-Macaulay (BCM) algebras to study singularities of local rings in mixed characteristic. In particular, we introduce a mixed characteristic BCM-variant of rational/$F$-rational singularities, of log terminal/$F$-regular singularities and of multiplier/test ideals of divisor pairs. We prove a number of results about these objects including a restriction theorem for BCM multiplier/test ideals and deformation statements for BCM-regular and BCM-rational singularities. As an application, we obtain results on the behavior of $F$-regular and $F$-rational singularities in arithmetic families.

研究动机与目标

• 将有理奇点与$F$-有理奇点的理论通过大科恩-麦克拉姆代数推广至混合特征环。
• 为除子对定义乘子理想与测试理想的混合特征类比。
• 建立BCM-正则与BCM-有理奇点的形变与限制定理。
• 将这些结果应用于理解算术族中$F$-正则与$F$-有理奇点的行为。

提出的方法

• 利用安德烈与加布里埃尔关于弱函子性整完美oid大科恩-麦克拉姆代数的最新结果。
• 利用这些代数定义有理与$F$-有理奇点的混合特征变体。
• 为混合特征中的除子对引入BCM-乘子理想与BCM-测试理想。
• 证明BCM-乘子/测试理想在平坦基变换下的限制定理。
• 在小形变下建立BCM-正则与BCM-有理奇点的形变定理。
• 将该框架应用于分析算术族中$F$-正则与$F$-有理奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有理与$F$-有理奇点推广至混合特征局部环？
• RQ2 乘子理想与测试理想的适当混合特征类比是什么？
• RQ3 BCM-乘子/测试理想是否在平坦基变换下满足限制定理？
• RQ4 BCM-正则与BCM-有理奇点能否在族中形变？
• RQ5 在算术族中，$F$-正则与$F$-有理奇点的行为如何？

主要发现

• 通过大科恩-麦克拉姆代数，定义了有理与$F$-有理奇点的混合特征变体。
• 本文为混合特征中的除子对构造了BCM-乘子理想与BCM-测试理想。
• 在平坦基变换下，建立了BCM-乘子与测试理想的限制定理。
• 证明了混合特征中BCM-正则与BCM-有理奇点的形变定理。
• 该框架导出了关于算术族中$F$-正则与$F$-有理奇点行为的新结果。