[论文解读] Singularities in mixed characteristic via perfectoid big Cohen-Macaulay algebras

Linquan Ma, Karl Schwede|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 47被引用 25

一句话总结

本文引入了混合特征下理性与F-正则奇点的类比，以及乘子理想与测试理想，使用了完美oid大Cohen-Macaulay代数。证明了这些不变量在足够大的选择下独立于完美oid BCM代数的选择，并建立了变形与限制定理，将混合特征奇点与特征零及正特征对应物联系起来。

ABSTRACT

We utilize recent results of André and Gabber on the existence of weakly functorial integral perfectoid big Cohen-Macaulay (BCM) algebras to study singularities of local rings in mixed characteristic. In particular, we introduce a mixed characteristic BCM-variant of rational/$F$-rational singularities, of log terminal/$F$-regular singularities and of multiplier/test ideals of divisor pairs. We prove a number of results about these objects including a restriction theorem for perfectoid BCM multiplier/test ideals and deformation statements for perfectoid BCM-regular and BCM-rational singularities. As an application, we obtain results on the behavior of $F$-regular and $F$-rational singularities in arithmetic families.

研究动机与目标

• 将正特征与零特征下理性与F-正则奇点的理论，通过完美oid大Cohen-Macaulay代数推广至混合特征。
• 在混合特征下，为除子对定义并研究乘子理想与测试理想的完美oid BCM类比。
• 证明这些不变量在足够大的完美oid BCM代数选择下保持不变，确保其鲁棒性。
• 证明BCM-有理与BCM-正则奇点的变形与限制定理，类比于其他特征下的已知结果。
• 将该框架应用于奇点族，表明F-有理与强F-正则奇点在算术族中可变形且在特殊化下保持不变。

提出的方法

• 利用André和Gabber关于弱函子性积分完美oid大Cohen-Macaulay R+-代数的最新结果。
• 定义新不变量：τB(ωR)与τB(R, ∆)，作为参数测试子模与测试理想的完美oid BCM类比。
• 证明当B足够大时，这些不变量独立于完美oid BCM代数B的选择。
• 通过有限映射下的变换规则与扰动稳定性，建立结构性质。
• 利用比较定理将完美oid BCM不变量与经典乘子理想及KLT奇点联系起来。
• 运用双有理几何与基变换技术分析算术族中的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过完美oid大Cohen-Macaulay代数定义混合特征下的理性与F-正则奇点？
• RQ2 由此产生的测试理想与乘子理想是否独立于完美oid BCM代数的选择？
• RQ3 这些不变量是否满足类似于特征零与正特征情形下的变形与限制定理？
• RQ4 该理论能否应用于奇点族，以推导出F-有理性与强F-正则性的保持性？
• RQ5 在存在解析解的情况下，完美oid BCM测试理想与经典乘子理想有何关系？

主要发现

• 当B为足够大的积分完美oid大Cohen-Macaulay R+-代数时，完美oid BCM测试理想τB(R, ∆)独立于B的选择。
• 对于Q-线丛的K_R + ∆的正常R，有τB(R, ∆) ⊆ J(R, ∆)对所有足够大的完美oid B成立，其中J(R, ∆)为经典乘子理想。
• 若R对某个足够大的完美oid B为BCMB-有理，则R为伪有理。
• 若(R, ∆)对某个足够大的完美oid B为BCMB-正则，则(R, ∆)为KLT。
• 完美oid BCM测试理想τB(R, ∆)在小扰动下稳定：τB(R, ∆) = τB(R, ∆ + ε div(g))对所有0 < ε ≪ 1且g ≠ 0成立。
• 在算术族中，F-有理与强F-正则奇点在Zariski稠密开集的闭纤维上可变形且在特殊化下保持不变。