[论文解读] Singularities of inverse functions

Alexandre Erëmenko|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Meromorphic and Entire Functions参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文对亚纯映射的反函数的奇点进行了全面综述，重点研究了由渐近曲线引起的超越奇点及其在复动力系统中的作用。通过奇点实现定义域的拓扑完备化，证明了非代数奇点对应于渐近值，并将该框架应用于有理函数和亚纯函数的动力行为分类，尤其关注临界点与吸引域结构的关系。

ABSTRACT

A survey of general results on the singularities of inverses to meromorphic functions is given, with applications to holomorphic dynamics. This is a lecture delivered at the workshop "The role of complex analysis in complex dynamics" in Edinburgh on May 22 2013, with corrected mistakes and updated references.

研究动机与目标

• 形式化亚纯函数反函数中奇点的概念，区分代数型与超越型。
• 通过超越奇点定义亚纯映射定义域的完备化，实现函数的连续延拓。
• 建立超越奇点与渐近曲线及其渐近值之间的对应关系。
• 将该理论应用于复动力系统，尤其用于分析吸引域与临界点分布。
• 证明完全不变分支的结构性结果及其对有理函数与亚纯函数的影响。

提出的方法

• 通过收缩邻域的原像嵌套分量，精确定义超越奇点。
• 定义完备化定义域 $ \overline{D}_f = D \cup \mathrm{Sing}(f) $ 上的拓扑，其中奇点的邻域为穿孔原像。
• 使用内在度量与Mazurkiewicz度量刻画完备化，证明 $ \rho_M \leq \rho $，且 $ \rho_M $ 局部与 $ \rho $ 一致。
• 将该理论应用于亚纯函数 $ f: D \to G $，证明若 $ G $ 不含临界值或渐近值，则 $ f $ 是覆盖映射。
• 运用Riemann–Hurwitz公式限制完全不变分支中临界点的数量。
• 在次调和函数的Carleman型不等式证明中，采用次调和函数技巧及Wirtinger/Cauchy不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 反函数的奇点由什么特征定义？代数型与超越型有何区别？
• RQ2 如何通过超越奇点对亚纯映射的定义域进行拓扑完备化？
• RQ3 渐近曲线与反函数中超越奇点的存在之间存在何种关系？
• RQ4 奇点如何影响有理函数与亚纯函数的动力行为，尤其是在吸引域中？
• RQ5 完全不变分支对临界点数量与Julia集结构施加了何种约束？

主要发现

• 反函数的超越奇点恰好对应于原函数的渐近值，其来源于曲线的无界原像。
• 若定义域 $ G $ 不含临界值或渐近值，则 $ f: D \to G $ 是覆盖映射，意味着反函数的解析延拓始终可能。
• 完备化 $ \overline{D}_f = D \cup \mathrm{Sing}(f) $ 是一个拓扑空间，其中 $ f $ 可连续延拓，且对位于 $ a $ 上方的奇点 $ S $，有 $ f(S) = a $。
• 对于乘子为1的吸引或中性不动点的直接吸引域，$ f: D \to D $ 不可能是覆盖映射，这意味着必然存在临界点或渐近曲线。
• 在有理函数或类 $ \mathbf{S} $ 的函数中，吸引与中性周期轨道的数量至多等于奇点值的数量。
• 亚纯函数至多有两个完全不变分支；若存在两个，则Julia集为一条若尔当曲线，且每个分支包含 $ d-1 $ 个临界点（$ d $ 为次数）。