[论文解读] Singularities of plurisubharmonic functions and positive closed currents

Alexander Rashkovskii|ArXiv.org|Aug 23, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 61被引用 4

一句话总结

本综述通过 Lelong 数、广义 Lelong 数和 Monge-Ampère 算子，建立了一个全面的框架，用于分析 plurisubharmonic 函数和正闭电流的奇点。通过局部指标和 Newton 多面体，推导出残余 Monge-Ampère 质量的定量界限，特别表明在原点处全纯映射的重数下界为其 Newton 数，从而统一并恢复了代数几何与复分析中的经典结果。

ABSTRACT

This is a survey of results, both classical and recent, on behaviour of plurisubharmonic functions near their $-\infty$-points, together with the related topics for positive closed currents.

研究动机与目标

• 系统化 plurisubharmonic 函数和正闭电流的 Lelong 数及广义 Lelong 数的理论。
• 建立正闭电流的结构公式，包括 Siu 分解和 King-Demailly 公式。
• 利用局部指标和方向 Lelong 数评估残余 Monge-Ampère 质量。
• 通过 Newton 多面体和 pluripotential 技术，推导全纯映射重数的定量界限。
• 统一 pluripotential 理论中经典与近期结果，并应用于代数几何和复分析。

提出的方法

• 将 Lelong 数定义为 plurisubharmonic 函数在其对数奇点附近渐近密度的度量。
• 利用 Monge-Ampère 算子将电流与 plurisubharmonic 函数关联，并研究其残余质量。
• 引入局部指标，将 Monge-Ampère 质量的评估简化为方向奇点的渐近分析。
• 应用 Lelong-Jensen-Demailly 公式，将可积性指标和乘子理想与 Lelong 数联系起来。
• 采用 King-Demailly 公式对电流进行分解，并分析奇点的传播。
• 通过 Newton 多面体上的几何积分以及凸集的极值点，计算残余质量的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lelong 数如何刻画 plurisubharmonic 函数的局部奇点行为？
• RQ2 广义 Lelong 数与 plurisubharmonic 函数可积性指标之间有何关系？
• RQ3 如何利用局部指标和方向 Lelong 数评估电流的残余 Monge-Ampère 质量？
• RQ4 通过 Newton 多面体和 pluripotential 理论，可为全纯映射的重数导出哪些界限？
• RQ5 在以方向 Lelong 数表示残余 Monge-Ampère 质量界限时，等号成立的条件是什么？

主要发现

• 在某点具有多圆对称奇点的 plurisubharmonic 函数的残余 Monge-Ampère 质量等于其 Newton 数，该值受其在坐标方向上方向 Lelong 数乘积的上界控制。
• 对于全纯映射 $ f $，其在原点的重数 $ m_f $ 满足 $ m_f \geq N_f $，其中 $ N_f $ 为 $ f $ 的 Newton 数，从而恢复了 Kouchnirenko 的界限。
• 当权函数 $ \varphi $ 具有多圆对称奇点且 $ -\infty $ 集不与坐标轴相交时，不等式 $ \nu(u,\varphi) \geq n! \int_{E^\varphi} \nu(u,0,-t) \, d\gamma^\varphi(t) $ 取等。
• 定义在 $ L^\varphi $ 的极值点上的测度 $ \gamma^\varphi $ 由凸集 $ \Theta_F^\varphi $ 的体积决定，从而将几何与奇点质量评估联系起来。
• 当 $ u = \log|f| $ 时，Newton 多面体 $ B_u $ 为 $ f $ 的 Newton 图的凸包，且残余质量 $ \mathcal{R}_u $ 等于 Newton 数 $ \tau_u $。
• 对于加权齐次分量，不等式 $ m_f \geq \frac{m_{f_1,a} \cdots m_{f_n,a}}{a_1 \cdots a_n} $ 成立，从而推广了 Bezout 型不等式。