[论文解读] Singularities of Richardson varieties

Allen Knutson, Alexander Woo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了Richardson簇——即Schubert簇与对偶Schubert簇的交集——的局部奇点性质，完全由对应Schubert簇在特定Schubert与对偶Schubert胞腔中点处的局部几何决定。论文证明了一个分解定理，表明任何满足乘积条件的局部不变量，其行为可视为在各个Schubert簇上的不变量的函数，从而将Richardson簇奇点的研究简化为对Schubert簇奇点的研究。

ABSTRACT

We give a short proof that essentially all questions concerning singularities of Richardson varieties reduce to corresponding questions about Schubert varieties. Consequently, we quickly deduce some new and previously known results.

研究动机与目标

• 理解广义旗流形中Richardson簇的局部奇点结构。
• 将关于Richardson簇奇点的问题还原为对应于Schubert簇的问题。
• 基于其在Schubert簇与对偶Schubert簇上的行为，建立Richardson簇上局部不变量的一般分解原理。
• 为推导Richardson簇的光滑性、正规性、Cohen–Macaulay性及有理奇点等性质提供统一框架。
• 利用局部同构与T-等变性，给出已知关于Richardson簇奇点结果的全新简短证明。

提出的方法

• 在Richardson簇中一点的邻域与Schubert簇和对偶Schubert簇的局部坐标图的乘积之间，引入一个局部T-等变同构（至多相差一个仿射空间的乘积）。
• 定义一类局部不变量P，其在与仿射空间的乘积下保持不变，并满足分解条件 f_P(X×Y) = f_P(P(x,X), P(y,Y))。
• 证明：对于任意位于Schubert胞腔BσP/P与对偶Schubert胞腔B_-τP/P交集中的点xP ∈ X_w^v，xP处的不变量P等于在X_w中σP点处的不变量与在X^v中τP点处的不变量的f_P复合。
• 利用矩阵表示与行变换（向上与向下扫掠）方法，从η₁(x)与η₂(x)（即B与B_-作用下的像）中重构出一般矩阵的元素。
• 通过按列归纳与基于1的位置相对关系的分类讨论，证明矩阵x的元素可表示为η₁(x)与η₂(x)元素的多项式。
• 应用分解结果，推导出Richardson簇在光滑性、正规性、Cohen–Macaulay性及有理奇点方面的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 Richardson簇X_w^v在点xP处的局部奇点性质，如何依赖于Schubert簇X_w在包含xP的Schubert胞腔中的局部几何，以及对偶Schubert簇X^v在包含xP的对偶Schubert胞腔中的局部几何？
• RQ2 能否通过一个局部分解原理，将Richardson簇的奇点完全还原为Schubert簇的奇点？
• RQ3 哪些Richardson簇的不变量由对应于Schubert簇与对偶Schubert簇的不变量所决定？
• RQ4 在何种条件下，Richardson簇上的局部不变量能通过其在分量Schubert簇上的不变量分解？
• RQ5 在非T-不动点附近，Richardson簇的局部结构能否仅通过Schubert簇与对偶Schubert簇的局部结构来描述？

主要发现

• Richardson簇X_w^v在点xP处的局部奇点类型，完全由包含xP的Schubert胞腔中Schubert簇X_w的局部不变量，以及包含xP的对偶Schubert胞腔中对偶Schubert簇X^v的局部不变量决定。
• X_w^v的奇点集是X_w的奇点集与X^v的交集，以及X^v的奇点集与X_w的交集的并集。
• 由于来自Schubert簇的对应不变量的分解，Richardson簇是正规的、Cohen–Macaulay的，且具有有理奇点。
• Richardson簇上某点处局部环的Hilbert–Samuel可乘性与H多项式，可表示为Schubert簇与对偶Schubert簇上对应不变量的函数。
• 该证明建立了X_w^v中xP邻域与X_w和X^v上局部坐标图的乘积之间，一个T-等变的局部同构（至多相差一个仿射空间），从而解释了不变量的分解现象。
• 该结果不仅适用于内在不变量，也适用于如局部T-等变上同调类等相对不变量，从而将适用范围扩展至纯奇点理论之外。