[论文解读] Singularities with respect to Mather-Jacobian discrepancies

Lawrence Ein, Shihoko Ishii|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 18

一句话总结

本文引入了Mather-Jacobian分歧，以定义非正规、非${\mathbb{Q}}$-Gorenstein代数簇的典范与对数典范奇点，推广了经典奇点理论。文章建立了基础性质，证明了邻接反演定理，并对二维以下的所有MJ-对数典范与MJ-典范奇点进行了分类，表明这些奇点在形变下表现良好，且包含非正规例子，如Segre嵌入的锥面。

ABSTRACT

As is well known, the "usual discrepancy" is defined for a normal Q-Gorenstein variety. By using this discrepancy we can define a canonical singularity and a log canonical singularity. In the same way, by using a new notion, Mather-Jacobian discrepancy introduced in recent papers we can define a "canonical singularity" and a "log canonical singularity" for not necessarily normal or Q-Gorenstein varieties. In this paper, we show basic properties of these singularities, behavior of these singularities under deformations and determine all these singularities of dimension up to 2.

研究动机与目标

• 将经典典范与对数典范奇点理论扩展至非正规${\mathbb{Q}}$-Gorenstein代数簇之外。
• 通过Mather-Jacobian分歧定义任意约化等维概形的MJ-典范与MJ-对数典范奇点。
• 建立这些奇点的基础性质，包括其在形变下的行为。
• 对维度不超过二的所有MJ-典范与MJ-对数典范奇点进行分类。
• 证明新框架能够捕捉重要的非正规奇点，如Segre嵌入的锥面。

提出的方法

• 将Mather-Jacobian分歧除子定义为$ \widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X} $，其中$ \widehat{K}_{Y/X} $为Mather分歧，$ J_{Y/X} $为Jacobian分歧。
• 引入Mather-Jacobian对数分歧：$ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{ord}_E(\widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X}) - t\operatorname{val}_E(\mathfrak{a}) + 1 $。
• 通过所有例外除子$ E $上$ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) $的不等式，定义MJ-典范、MJ-对数典范、MJ-终端与MJ-klt奇点。
• 证明MJ分歧的邻接反演：$ \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) = \operatorname{mld}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) $。
• 利用通过Nash展开的对数分辨来定义Mather-Jacobian分歧，使其具有双有理不变性。
• 通过分析其退化极限与完全交模型，对维度≤2的所有MJ-对数典范与MJ-典范奇点进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将典范与对数典范奇点推广至非正规、非-${\mathbb{Q}}$-Gorenstein代数簇？
• RQ2 MJ-典范与MJ-对数典范奇点的基本性质是什么，包括其在形变下的行为？
• RQ3 维度≤2的哪些奇点是MJ-对数典范或MJ-典范的，它们与经典奇点有何关系？
• RQ4 Mather-Jacobian分歧是否满足邻接反演？其后果是什么？
• RQ5 非正规奇点（如Segre嵌入的锥面）能否被MJ理论捕捉？

主要发现

• Mather-Jacobian分歧推广了经典分歧，使得可在非正规、非-${\mathbb{Q}}$-Gorenstein代数簇上定义MJ-典范与MJ-对数典范奇点。
• 当代数簇为正规且${\mathbb{Q}}$-Gorenstein时，MJ-典范（相应地，MJ-对数典范）奇点在经典意义下也对应典范（相应地，对数典范）奇点。
• MJ分歧的邻接反演成立，将MJ最小对数分歧与环境空间中的经典mld联系起来。
• 所有维度≤2的MJ-对数典范与MJ-典范奇点均已分类，包括Segre嵌入锥面与具有普通节点的有理曲线并集等例子。
• 存在非$ S_2 $的MJ-对数典范奇点，例如两个在一点相交的曲面的并，表明该框架能捕捉非Cohen-Macaulay奇点。
• 四条${\mathbb{P}}^1$构成环状结构且具有普通双焦点的锥面是MJ-对数典范但非半对数典范，清晰展示了MJ理论与其他奇点类之间的区别。