[论文解读] Singularity formation and regularization at multiple times in the viscous Hamilton-Jacobi equation

Noriko Mizoguchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文构建了全局粘性解，针对一般维数下的黏性哈密顿-雅可比方程，实现梯度爆破（GBU）与边界条件损失（LBC）在多个、任意排序的时间点发生。通过一种基于临界参数与连续性论证的新方法，证明了在 m ≥ 1 个不同时间点，可实现 GBU 与/或 LBC 的任意组合，包括新型的“弹跳”行为，并在一维情形下完成完整分类，进一步推广至高维中的径向情形。

ABSTRACT

The Cauchy-Dirichlet pbm for the superquadratic viscous Hamilton-Jacobi eqn (VHJ), which has important applications in stochastic control theory, admits a unique, global viscosity solution. Sol. thus exist in the weak sense after appearance of singularity in finite time, which occurs through gradient blow-up (GBU) on the boundary. Whereas theory of visc. sol. has been extensively studied and applied to many PDEs, there are less results on refined behavior of sol. In particular, detailed behavior of visc. sol. of VHJ after GBU has remained mostly open. Here, in general dim., for each $m\ge 1$ we construct sol. which undergo GBU and LBC at least at $m$ times and then recover regularity, as well as sol. that exhibit GBU without LBC at 1st blowup time. In 1d, we obtain the complete classification of visc. sol. at each time, which extends to radial cases in higher d. Furthermore for each $m\ge 2$ and arbitrarily given combination of GBU types with/without LBC at $m$ times in arbitrarily given order, we show exist. of a sol. with this exact combination of GBU. Some sol. display a new type of behavior called "bouncing". Global weak sol. of VHJ with multiple time singularity turn out to display larger variety of behaviors than for the Fujita eqn. We introduce a method based on an arbitrary number of critical parameters, whose continuity requires a delicate argument. Since we do not rely on any known special sol. unlike in Fujita eqn, our method is expected to apply to other eqns. Singular behaviors at multiple times are completely new in the context of VHJ but also of stochastic control theory. In this framework our results imply that for certain spatial distributions of rewards, if a controled Brownian particle starts near the boundary, then the net gain attains profitable values on different time horizons but not on some intermediate times.

研究动机与目标

• 研究黏性哈密顿-雅可比方程中梯度爆破（GBU）之后全局粘性解的精细长期行为。
• 确定解是否可在多个不同时间点发生梯度爆破（GBU）与边界条件损失（LBC），而不仅限于单事件情形。
• 对一维空间中所有可能的粘性解行为进行完整分类，并将分类结果推广至高维中的径向解。
• 构造在 m ≥ 1 个指定时间点，以任意序列发生 GBU 与/或 LBC 的解，包括新型的“弹跳”动力学行为。
• 发展一种通用方法，适用于一般情形，无需依赖已知的精确解，以分析非线性PDE中的奇异性行为。

提出的方法

• 提出一种基于任意数量临界参数的方法，以控制解中奇异性形成与恢复的过程。
• 利用这些参数上的连续性论证，确保在指定时间点实现所需 GBU 与 LBC 模式的解的存在性。
• 采用涉及截断函数与凸延拓的扰动技术，修改初始数据，以构造具有所需正则性与边界行为的解。
• 应用零点个数性质与单调性分析，追踪节点集的演化并控制导数符号变化的次数。
• 依赖比较原理与逼近方案，建立解在爆破后的粘性解性质与正则性。
• 通过对称性与尺度变换论证，将一维结果推广至高维中的径向解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般维数下，黏性哈密顿-雅可比方程的粘性解是否可在多个不同时间点发生梯度爆破（GBU）与边界条件损失（LBC）？
• RQ2 是否可构造出在 m ≥ 1 个指定时间点，以任意顺序发生 GBU 与/或 LBC 的解？
• RQ3 在一维空间中，粘性解的 GBU 与 LBC 行为的完整分类是什么？包括高维中的径向情形。
• RQ4 是否存在具有新型行为（如“弹跳”）的解，即在 GBU 与 LBC 后恢复正则性，随后再次经历相同过程？
• RQ5 该方法是否可推广至其他方程，而无需依赖特殊或精确解？

主要发现

• 对每个 m ≥ 1，本文构造了全局粘性解，其在至少 m 次时间点发生 GBU 与 LBC，且在事件之间恢复正则性。
• 对每个 m ≥ 2 及任意预设的 GBU 类型序列（含或不含 LBC），本文证明了存在解在 m 个不同时间点精确表现出该序列行为。
• 在一维情形下，本文对每个时间点的所有粘性解行为提供了完整分类，包括高维中的径向解。
• 构造了表现出新型“弹跳”行为的解，即在 GBU 与 LBC 后恢复正则性，随后再次经历相同过程。
• 该方法具有通用性，不依赖于已知的特殊解，因此可能适用于其他非线性PDE。
• 结果揭示了比Fujita方程中观察到的更丰富的奇异性行为，尤其在随机控制理论背景下。