[论文解读] Singularity formation for Burgers equation with transverse viscosity

Charles Collot, Tej‐Eddine Ghoul+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 7

一句话总结

本文构建并表征了一类具有横向粘性的二维Burgers方程的解，其通过梯度爆破在有限时间内形成奇点。文章提出了一套新颖的框架，结合了在双曲方向的自相似动力学与在横向方向的抛物演化，表明爆破轮廓由沿x方向的反向自相似解控制，且尺度参数通过二次半线性热方程演化。

ABSTRACT

We consider Burgers equation with transverse viscosity $$\partial_tu+u\partial_xu-\partial_{yy}u=0, \ \ (x,y)\in \mathbb R^2, \ \ u:[0,T) imes \mathbb R^2 ightarrow \mathbb R.$$ We construct and describe precisely a family of solutions which become singular in finite time by having their gradient becoming unbounded. To leading order, the solution is given by a backward self-similar solution of Burgers equation along the $x$ variable, whose scaling parameters evolve according to parabolic equations along the $y$ variable, one of them being the quadratic semi-linear heat equation. We develop a new framework adapted to this mixed hyperbolic/parabolic blow-up problem, revisit the construction of flat blow-up profiles for the semi-linear heat equation, and the self-similarity in the shocks of Burgers equation.

研究动机与目标

• 分析具有横向粘性的二维Burgers方程中有限时间奇点形成的机制，该方程为混合双曲-抛物型系统。
• 描述当梯度无界时爆破轮廓的精确结构。
• 为混合双曲-抛物型爆破问题开发新的分析框架。
• 将爆破动力学与无粘Burgers方程的自相似解及二次半线性热方程联系起来。
• 为理解Prandtl边界层方程中奇点形成提供基础。

提出的方法

• 通过沿x变量的反向自相似假设构造解，其中尺度参数在y变量方向上按抛物方程演化。
• 采用摄动方法推导尺度参数的演化，表明其满足二次半线性热方程。
• 应用能量估计与不动点论证，在Sobolev空间H^s（s ≥ 3）中建立局部适定性。
• 重新审视半线性热方程的平坦爆破轮廓构造，使用加权范数与渐近分析。
• 运用莱布尼茨法则与数学归纳法，控制涉及自相似轮廓与尺度因子的复合函数的导数。
• 通过包含|Z|与|X|的范数，建立解的导数的加权估计，其中Z与X为缩放的空间变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 与无粘情况相比，横向粘性如何改变Burgers方程中有限时间奇点形成的性质？
• RQ2 在横向粘性作用下，有限时间爆破的解的精确渐近结构是什么？
• RQ3 自相似爆破轮廓中尺度参数的演化能否由抛物型PDE描述？若能，是哪一个？
• RQ4 如何构建统一框架以处理混合双曲-抛物型爆破问题？
• RQ5 该模型在多大程度上捕捉了与Prandtl边界层方程相关的奇点动力学？

主要发现

• 由于梯度爆破，解在有限时间内变得奇异，爆破判据为lim sup_{t↑T} ||∂x u||_{L∞} = ∞。
• 主导行为是沿x方向的无粘Burgers方程的反向自相似解，尺度参数在y方向上通过二次半线性热方程演化。
• 自相似轮廓Ψ_i为奇函数、单调递减且解析，其中Ψ_1由X与平方根项构成的立方根表达式显式给出。
• 爆破轮廓在小扰动下保持稳定，该方法建立了对导数的加权估计，从而控制了解在奇点附近的性质。
• 该框架成功处理了双曲激波形成与抛物平滑效应之间的相互作用，扩展了非线性PDE中爆破现象的已知结果。
• 分析证实，横向粘性虽未阻止爆破，但改变了其结构，将其嵌入尺度参数的抛物演化之中。