[论文解读] Singularity formation in the incompressible Euler equation in finite and infinite time

Theodore D. Drivas, Tarek M. Elgindi|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文通过无限维动力系统理论研究不可压缩欧拉方程中的有限时间和无限时间奇点形成问题。通过恒定压力解，在无限空间维下建立了有限时间爆破的实例，并回顾了三维中奇点形成的机制，包括自相似解和轴对称无涡流解，同时提出了关于稳定性、爆破轮廓和临界正则性阈值的关键开放问题。

ABSTRACT

Some classical and recent results on the Euler equations governing perfect (incompressible and inviscid) fluid motion are collected and reviewed, with some small novelties scattered throughout. The perspective and emphasis will be given through the lens of infinite-dimensional dynamical systems, and various open problems are listed and discussed.

研究动机与目标

• 通过无限维动力系统理论分析不可压缩欧拉方程中的奇点形成问题。
• 利用恒定压力解，在无限空间维下从光滑初值构造有限时间爆破的实例。
• 回顾并统一近期关于三维有限时间爆破机制的进展，特别是自相似解和轴对称无涡流构型。
• 识别并提出关于三维及更高维奇点存在性、稳定性及传播性的开放问题。
• 探讨对称性、角权重及线性化算子在构建和分析爆破轮廓中的作用。

提出的方法

• 将流体流动的几何表述为体积保持微分同胚群上的测地线运动，源自最小作用量原理。
• 在体积保持微分同胚的配置空间上应用欧拉-庞加莱方程，推导出不可压缩欧拉方程。
• 分析线性化算子 $\mathcal{L}$，并设计角权重以控制自相似爆破构造中的非局部效应。
• 在无限维空间中构造一类恒定压力的全局解，以证明从光滑数据出发可在有限时间内发生爆破。
• 采用自相似假设和渐近分析，研究轴对称无涡流及三维欧拉系统中的爆破轮廓。
• 使用傅里叶积分算子和基于 $L^p$ 的正则性准则，探测一维和三维模型中奇点形成的临界阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维空间域中，光滑初值是否会导致不可压缩欧拉方程在有限时间内形成奇点？
• RQ2 是否存在满足 $\nabla u \in \ring{C}^\infty$ 的自相似解，在允许的对称类下于有限时间内爆破？
• RQ3 在三维欧拉流中，是否存在一个普遍的临界 $L^{p_{*}}$ 范数阈值，使得当范数超过该值时，有限时间爆破必然发生？
• RQ4 在 $\mathbb{R}^d$ 上，$d \geq 4$ 的轴对称无涡流欧拉解中是否可能发生爆破？
• RQ5 在轴对称设置下，自相似解的奇点集是否以扩张环的形式传播？

主要发现

• 通过光滑、紧支集的初值和恒定压力，证明了在无限空间维下不可压缩欧拉方程存在有限时间爆破。
• 该构造依赖于一类在无限维空间中全局定义的解，其涡量在有限时间内无界增长，尽管初值光滑。
• 在特定对称性和权重条件下，证明了轴对称无涡流欧拉方程存在自相似爆破解。
• 对线性化算子 $\mathcal{L}$ 的分析用于设计角权重，以控制非局部项，从而实现自相似轮廓的构造。
• 提出了若干猜想，认为若解在有限时间内形成奇点，则 $L^{p_{*}}$ 范数（$p_{*} < \infty$）必须发生爆破。
• 猜想指出，当 $\alpha < \frac{1}{3}$ 时，存在 $C^{\alpha}_{c}$ 的轴对称无涡流解，即使在径向变量为 $C^{\infty}$ 的初值下，也会在有限时间内爆破。