[论文解读] Singularization of knots and closed braids

Thomas Fiedler|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文构建了首个非平凡的组合1-上循环，其取值于具有符号平面双重点的奇异长纽结的 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模，代表了长纽结的拓扑模空间中非平凡的上同调类。该上循环检测了卫星纽结与复合纽结中的非平凡拓扑结构，包括Fox-Hatcher环路和三叶草拖动环路，并通过从上循环导出的典范二次型对Kauffman-Vogel HOMFLYPT多项式进行求值，导出了新的三变量纽结多项式。

ABSTRACT

We construct the first combinatorial 1-cocycle with values in the $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module of isotopy classes of singular long knots in 3-space with a signed planar double point, and which represents a non trivial cohomology class in the topological moduli space of long knots. It can be interpreted as an invariant with values in a $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module generated by 3-manifolds for each element of infinite order of the mapping class group of the complement of a satellite knot in $S^3$. The 1-cocycle seems to be trivial on all loops for long knots which are not satellites but it is already non trivial on the Fox-Hatcher loop of any composite knot, on the loop which consists of {\em dragging} a trefoil through another trefoil and on the {\em scan-arc} for the 2-cable of the trefoil. The {\em canonical resolution} of the value of the 1-cocycle for dragging a knot through another knot leads to a symmetric bilinear form on the free $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module of all unframed oriented knot types into itself. We conjecture that its radical contains only the trivial knot. Evaluating e.g. the Kauffman-Vogel HOMFLYPT polynomial for singular knots on the value of the 1-cocycle applied to the associated quadratic form, leads to a couple of new 3-variable knot polynomials. We construct also the first non trivial 1-cocycle for those closed positive 4-braids which contain a half-twist. It takes its values in a symmetric power of the $ \mathbb{Z}$-module of isotopy classes of closed positive 4-braids with a double point.

研究动机与目标

• 构建一个取值于具有符号平面双重点的奇异长纽结的 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模的组合1-上循环。
• 证明该1-上循环在长纽结的拓扑模空间中代表一个非平凡的上同调类。
• 展示该1-上循环在与复合纽结和卫星纽结相关的环路（如Fox-Hatcher环路和三叶草拖动环路）上的非平凡性。
• 定义1-上循环取值的典范化简，从而在无 framing 的定向纽结类型自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模上生成一个对称双线性型。
• 推测该双线性型的根仅包含平凡纽结，并通过在该型上求值Kauffman-Vogel HOMFLYPT多项式，探索新的纽结多项式。

提出的方法

• 通过具有符号平面双重点的奇异长纽结的同伦类，组合构造1-上循环。
• 该上循环取值于由 $S^3$ 中卫星纽结补集的映射类群中无限阶元素所关联的3-流形生成的 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模。
• 1-上循环取值的典范化简在无 framing 的定向纽结类型自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模上产生一个对称双线性型。
• 该双线性型用于定义一个二次型，随后通过Kauffman-Vogel HOMFLYPT多项式求值，从而导出新的三变量纽结多项式。
• 对于带有半扭转的闭正4-辫，构造了一个取值于此类辫的同伦类 $\mathbb{Z}$-模的对称幂的非平凡1-上循环。
• 该构造依赖于纽结理论中的拓扑不变量与代数结构，尤其聚焦于奇异纽结与辫。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个非平凡的组合1-上循环，其取值于具有符号平面双重点的奇异长纽结的 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模，且在长纽结模空间中代表非平凡的上同调类？
• RQ2 该1-上循环是否在与复合纽结或卫星纽结相关的环路（如Fox-Hatcher环路或三叶草拖动环路）上非平凡？
• RQ3 1-上循环取值的典范化简是否可用于在无 framing 的定向纽结类型模上定义一个对称双线性型，其根的性质有何意义？
• RQ4 在由该1-上循环导出的二次型上求值Kauffman-Vogel HOMFLYPT多项式，是否能产生具有区分能力的新三变量纽结多项式？
• RQ5 能否为包含半扭转的闭正4-辫构造一个非平凡1-上循环，其目标模是什么？

主要发现

• 所构造的1-上循环在任意复合纽结的Fox-Hatcher环路上非平凡，表明其对复合结构具有敏感性。
• 该1-上循环在将一个三叶草纽结拖过另一个三叶草纽结所形成的环路上非平凡，表明其能检测到非平凡的辫类动力学。
• 该1-上循环在三叶草的2-缆的扫描弧上非平凡，表明其对缆结构具有敏感性。
• 1-上循环取值的典范化简在无 framing 的定向纽结类型自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-模上产生一个对称双线性型。
• 本文推测该双线性型的根仅包含平凡纽结，暗示其可能具有唯一性与强不变性。
• 在由1-上循环导出的二次型上求值Kauffman-Vogel HOMFLYPT多项式，可得到具有潜在区分能力的新三变量纽结多项式。