[论文解读] SIR epidemics on evolving graphs

Yufeng Jiang, Remy Kassem+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文研究了在Erdős-Rényi随机图上，易感个体以速率ρ从感染邻居处重新布线的evoSIR模型。证明了evoSIR与delSIR模型（其中边被删除而非重新布线）在临界感染率λc及大规模流行病发生概率方面完全相同，并表明大规模delSIR流行病的最终规模经历连续相变，而模拟结果表明evoSIR在λc处表现出不连续相变。

ABSTRACT

We consider evoSIR, a variant of the SIR model, on Erd\H os-Renyi random graphs in which susceptibles with an infected neighbor break that connection at rate $ρ$ and rewire to a randomly chosen individual. We compute the critical infection rate $λ_c$ and the probability of a large epidemic by showing that they are the same for the delSIR model in which $S-I$ connections are deleted instead of rewired. The final size of a large delSIR epidemic has a continuous transition. Simulations suggest that the final size of a large evoSIR epidemic is discontinuous at $λ_c$.

研究动机与目标

• 分析evoSIR模型，即在演化随机图上，易感个体从感染邻居处重新布线的SIR流行病过程的变体。
• 确定evoSIR中大规模流行病爆发的临界感染率λc。
• 比较evoSIR与delSIR模型的最终规模行为，其中边被删除而非重新布线。
• 研究evoSIR中大规模流行病的最终规模在λc处是否表现出连续或不连续的相变。

提出的方法

• 在平均度为μ的Erdős-Rényi随机图G(n, μ/n)上建立流行病过程模型。
• 引入两种变体：evoSIR中，S-I边以速率ρ重新连接至随机个体；delSIR中，S-I边以速率ρ被删除。
• 使用鞅技术与分支过程近似推导临界阈值λc。
• 采用连续时间马尔可夫链方法，结合无穷小均值与方差计算，证明其收敛至确定性极限。
• 推导在固定时间重新布线条件下，未探索顶点中易感个体与平均度演化的微分方程组。
• 利用生成函数与大数定律，证明归一化感染个体数收敛至确定性函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Erdős-Rényi随机图上，evoSIR模型的临界感染率λc是多少？
• RQ2 evoSIR与delSIR模型的临界阈值及大规模流行病发生概率是否相同？
• RQ3 evoSIR中大规模流行病的最终规模在λc处是否表现出连续或不连续的相变？
• RQ4 与标准SIR模型相比，重新布线行为如何影响最终流行病规模？
• RQ5 当图大小n → ∞时，流行病过程的极限行为是什么？

主要发现

• evoSIR的临界感染率λc与delSIR模型完全相同，意味着大规模流行病的阈值一致。
• 大规模delSIR流行病的最终规模在λc处经历连续相变。
• 模拟结果表明，大规模evoSIR流行病的最终规模在λc处表现出不连续相变。
• 归一化感染个体数U[ns]/n在n → ∞时几乎必然收敛至e^{-sμEτ}，确立了确定性极限。
• 在固定时间重新布线条件下，u_s与v_s的微分方程组解的形式为u = A / (B + (A - B)e^{At})，揭示了易感比例随时间的动态演化。
• 量αu_s + (1−α)v_s随时间保持守恒，其中α为重新布线概率，从而可得到v_s关于u_s的闭式表达式。