[论文解读] Six ways to quantize (2+1)-dimensional gravity

Steven Carlip|ArXiv.org|May 24, 1993

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 11

一句话总结

本文系统比较了六种不同的量子化方法——约化相空间 ADM、Chern-Simons/连接、协变正则、环表示、Wheeler-DeWitt 方程和晶格方法——在环面上的 (2+1) 维引力理论中的应用。尽管所有方法在 2+1D 中均适用，但它们给出了非等价的量子理论，揭示了量子引力量子化方案之间深刻的观念差异，并为高维量子引力中的基础性问题提供了洞见。

ABSTRACT

We do not yet know how to quantize gravity in 3+1 dimensions, but in lower dimensions we face the opposite problem: many of the approaches originally developed for (3+1)-dimensional gravity can be successfully implemented in 2+1 dimensions, but the resulting quantum theories are not all equivalent. In this talk, I discuss six such approaches --- reduced phase space ADM quantization, the Chern-Simons/connection representation, covariant canonical quantization, the loop representation, the Wheeler-DeWitt equation, and lattice methods --- for the simple case of a spacetime whose spatial topology is that of a torus. A comparison of the resulting quantum theories can provide some useful insights into the conceptual issues that underlie quantum gravity in any number of dimensions. (Talk given at the Fifth Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics, Waterloo, Ontario, May 1993)

研究动机与目标

• 研究多种量子化方法在 (2+1) 维引力理论中的可行性与结果，该理论是比 3+1 维更简单的设定。
• 识别并对比在低维引力模型中应用时，既有的量子化方法之间的观念与技术差异。
• 利用不同方法所得结果的非等价性，作为探测量子引力量子化基础性挑战的工具。
• 提供一个比较框架，突出每种方法在特定时空拓扑结构（环面）下的优势与局限性。

提出的方法

• 将约化相空间 ADM 量子化方法应用于具有环面空间拓扑的 (2+1) 维引力理论，将该理论简化为有限维系统。
• 采用 (2+1) 维引力的 Chern-Simons 形式，将该理论映射为具有连接变量的拓扑规范理论。
• 使用协变正则量子化方法，基于约化相空间上的辛结构与泊松括号构造一个量子理论。
• 将环表示方法应用于正则理论，利用全息变换与环变量定义一个非微扰的量子态空间。
• 推导并分析 Wheeler-DeWitt 方程，作为正则方法中波函数的约束条件。
• 利用晶格方法对时空进行离散化，并执行非微扰量子化，将该理论处理在有限网格上。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同量子化方法——ADM、Chern-Simons、环、Wheeler-DeWitt、协变正则与晶格——在 (2+1) 维引力理论中为何会产生不同的量子理论？
• RQ2 当应用于具有环面空间拓扑的时空时，这些方法之间在观念与技术上存在哪些差异？
• RQ3 为何这些方法尽管在 2+1D 中均有效，却导致非等价的量子理论？这对一般量子引力的量子化意味着什么？
• RQ4 量子化方法的选择如何影响希尔伯特空间的结构与物理态条件？
• RQ5 从低维模型中不同方法结果的非等价性中，可以对量子引力的基础性问题获得哪些洞见？

主要发现

• 尽管所有六种量子化方法在 (2+1) 维引力理论中均数学自洽，但它们产生了非等价的量子理论。
• Chern-Simons 形式导致一个具有有限维希尔伯特空间的拓扑量子场论，其与环面的模群直接相关。
• 环表示方法与约化相空间 ADM 量子化方法产生了不同的希尔伯特空间结构，反映出在正则变量选择上的差异。
• Wheeler-DeWitt 方程方法导致一个函数微分方程，其解依赖于因子排序与规范固定的选择。
• 晶格方法产生一个离散的量子理论，其连续极限必须仔细分析，才能恢复已知结果。
• 该比较表明，在 2+1D 中量子化并非唯一，凸显了即使在低维情形下，定义引力的量子理论仍存在模糊性。