[论文解读] Sixteen New Linear Codes With Plotkin Sum

Fernando Hernando, Diego Ruano|ArXiv.org|Apr 22, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用 Plotkin 和构造（u|u+v）在有限域 F₃ 和 F₄ 上构造了 16 个新的线性码，该方法通过组合两个已知码来生成更长的码，且最小距离得到改进或显式构造。其中三个 F₄ 上的码超过了此前已知的最小距离下限，其余十三个码则首次提供了此前仅知存在性上界但未显式构造的码的显式构造方式。

ABSTRACT

Sixteen new linear codes are presented: three of them improve the lower bounds on the minimum distance for a linear code and the rest are an explicit construction of unknown codes attaining the lower bounds on the minimum distance. They are constructed using the Plotkin sum of two linear codes, also called $(u|u+v)$ construction. The computations have been achieved using an exhaustiv search.

研究动机与目标

• 利用 Plotkin 和构造方法，构造具有改进或显式实现的最小距离下限的新线性码。
• 证明 Plotkin 和构造方法仍是改进线性码最小距离下限的有效工具。
• 为此前仅知存在性上界而未显式构造的码提供显式构造方法。
• 表明数据库 [3] 中列出的大量码可通过 Plotkin 和构造生成，且通常比原始构造方法更简单。
• 通过建议使用 Plotkin 和构造扩展已知码以获得更长长度和更优距离特性的码，鼓励未来码的构造工作。

提出的方法

• 采用 Plotkin 和构造：C = {(u, u+v) | u ∈ C₁, v ∈ C₂}，其中 C₁ 和 C₂ 是长度为 n 的 F_q 上的线性码。
• 应用参数公式：所得码的参数为 [2n, k₁+k₂, min{2d₁, d₂}]。
• 对数据库 [3] 中长度 n ≤ 121（q=4 时）的已知码进行穷举搜索，重点关注偶数长度码。
• 将 Plotkin 和构造所得码的最小距离与 [3] 中长度 2n 的已知下限进行比较，以识别改进或显式构造。
• 使用计算机代数系统 Magma 实现并验证特定码的构造，包括短截操作。
• 通过比较 [3] 中有多少码可通过该方法重构，评估 Plotkin 和构造的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Plotkin 和构造是否仍能产生改进已知最小距离下限的新线性码？
• RQ2 Plotkin 和构造能否用于为此前仅知存在性上界而未显式构造的码提供显式构造？
• RQ3 数据库 [3] 中列出的多少码可通过 Plotkin 和构造生成？该方法是否比原始构造更简单？
• RQ4 Plotkin 和构造是否提供了一种系统化的方法，从已知的短码生成更长且最小距离更优的码？
• RQ5 在现代码构造与下限改进的背景下，使用 Plotkin 和构造的实际影响是什么？

主要发现

• 在 F₄ 上，三个新的 [126,95,12] 和 [128,97,12] 码将最小距离下限从 11 提升至 12。
• 通过 [128,97,12] 码的短截操作获得一个 [127,96,≥12] 码，将最小距离下限从 11 提升至 12。
• 在 F₃ 上，三个新的 [124,78,16] 和 [126,79,16] 码首次实现了满足已知最小距离下限的显式构造。
• 在 F₄ 上，十个新的 [104,63,16]、[106,65,16]、[108,67,16]、[122,91,12]、[124,93,12] 和 [125,94,≥12] 码提供了此前仅知存在性上界但未显式构造的码的显式构造。
• Plotkin 和构造方法恢复了 F₂ 上 2,676 / 16,512（16.2%）的偶数长度码，F₃ 上 1,681 / 14,762（11.38%）的码，以及 F₄、F₅、F₇、F₈、F₉ 等上的显著比例，表明其具有广泛适用性。
• 对于若干码，Plotkin 和构造提供了比原始方法（涉及多次短截、删减或校验位操作）更简洁的构造路径。