[论文解读] Size of the Largest Induced Forest in Subcubic Graphs of Girth at least Four and Five

Tom Kelly, Chun‐Hung Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了在围长至少为四或五的2-连通的子立方图中最大诱导森林大小的紧下界，证明此类图中存在大小至少为 $ n - \frac{2}{9}m $ 或 $ n - \frac{1}{5}m $ 的诱导森林，分别排除有限多个例外图。结果是紧的，并扩展了刘和赵的先前工作，对反馈顶点集和结构图论具有影响。

ABSTRACT

In this paper, we address the maximum number of vertices of induced forests in subcubic graphs with girth at least four or five. We provide a unified approach to prove that every 2-connected subcubic graph on $n$ vertices and $m$ edges with girth at least four or five, respectively, has an induced forest on at least $n-\frac{2}{9}m$ or $n-\frac{1}{5}m$ vertices, respectively, except for finitely many exceptional graphs. Our results improve a result of Liu and Zhao and are tight in the sense that the bounds are attained by infinitely many 2-connected graphs. Equivalently, we prove that such graphs admit feedback vertex sets with size at most $\frac{2}{9}m$ or $\frac{1}{5}m$, respectively. Those exceptional graphs will be explicitly constructed, and our result can be easily modified to drop the 2-connectivity requirement.

研究动机与目标

• 确定围长至少为四或五的子立方图中最大诱导森林大小的紧下界。
• 统一并改进刘和赵关于子立方图中诱导森林的先前结果。
• 表征达到界限的极值图，识别出有限多个例外情况。
• 在这些图中建立最小反馈顶点集大小的等价界限。
• 通过证明界限可推广至一般子立方图，将结果从2-连通图推广至更广范围。

提出的方法

• 对围长 ≥4 或 ≥5 的子立方图进行结构分析，重点关注顶点数与边数及圈结构。
• 使用边割和顶点割论证，推导图修改下的不变量。
• 应用关于诱导子图（如 $ K_{2,3} $）的引理，以限制邻域配置。
• 通过路径和已知基图（如 $ K_4^+ $ 和 $ L $）的递归连接构造例外图。
• 使用反证法结合边收缩与圈检测，以消除小圈并强制满足围长约束。
• 以已知极值图（如十二面体）为参考点，测试界限的紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在围长至少为四的2-连通子立方图中，最大诱导森林的最小可能大小是多少？
• RQ2 当围长增加到五时，最大诱导森林的界限如何变化？
• RQ3 哪些图实现了最紧的界限，且如何显式表征它们？
• RQ4 能否将诱导森林的界限推广至非2-连通的子立方图？
• RQ5 这些界限与图中最小反馈顶点集的大小有何关系？

主要发现

• 每个围长至少为四的2-连通子立方图都包含大小至少为 $ n - \frac{2}{9}m $ 的诱导森林，且存在无穷多个图使得等号成立。
• 对于围长至少为五的2-连通子立方图，最大诱导森林的大小至少为 $ n - \frac{1}{5}m $，且该界限对无穷多个图是紧的。
• 这些界限分别等价于反馈顶点集大小至多为 $ \frac{2}{9}m $ 和 $ \frac{1}{5}m $。
• 仅有有限多个不满足界限的例外图，且这些图已被显式构造。
• 本结果改进了刘和赵先前的界限，后者在围长为五时并不紧。
• 在最终证明步骤中，通过反证法排除了十二面体（一个已知的极值图）作为例外图。