[论文解读] Size-Ramsey numbers of powers of hypergraph trees and long subdivisions

Shoham Letzter, Alexey Pokrovskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于所有固定的 $ r, s, t $，$ r $-均匀紧致路径的 $ t $-次幂的 $ s $-色大小-Ramsey 数在 $ n $ 上是线性的。此外，该研究还证明了有界度超图树的幂以及有界度超图的长细分也具有线性大小-Ramsey 数，从而解决了 Dudek、La Fleur、Mubayi 和 Rödl 关于超图路径大小-Ramsey 数线性的猜想。

ABSTRACT

The $s$-colour size-Ramsey number of a hypergraph $H$ is the minimum number of edges in a hypergraph $G$ whose every $s$-edge-colouring contains a monochromatic copy of $H$. We show that the $s$-colour size-Ramsey number of the $t$-power of the $r$-uniform tight path on $n$ vertices is linear in $n$, for every fixed $r, s, t$, thus answering a question of Dudek, La Fleur, Mubayi, and Rödl (2017). In fact, we prove a stronger result that allows us to deduce that powers of bounded degree hypergraph trees and powers of `long subdivisions' of bounded degree hypergraphs have size-Ramsey numbers that are linear in the number of vertices. This extends and strongly generalises recent results about the linearity of size-Ramsey numbers of powers of bounded degree trees and of long subdivisions of bounded degree graphs.

研究动机与目标

• 解决 Dudek、La Fleur、Mubayi 和 Rödl 关于 $ r $-均匀紧致路径大小-Ramsey 数线性的猜想。
• 将 Beck 关于路径大小-Ramsey 数结果推广至超图及其幂。
• 建立有界度超图树的幂和有界度超图长细分的线性大小-Ramsey 数。
• 将近期关于有界度图幂的结果扩展至超图设置。

提出的方法

• 将 $ r $-均匀紧致路径的 $ t $-次幂定义为：其边集由长度为 $ r + t - 1 $ 的区间内所含的 $ r $-元组构成的超图。
• 通过概率构造方法构建一个主机超图 $ G $，其边数为 $ O(n) $，并保证在任意 $ s $-边染色下均存在单色的紧致路径 $ t $-次幂。
• 应用适用于超图的稀疏正则化方法和嵌入技术，以确保单色包含性。
• 通过结构分解和边连通性上的归纳法，将论证推广至超图树和长细分。
• 利用已知的有界度图结果，并通过超图正则化和密度论证将其推广至超图。
• 通过精细化分析超图树中的距离与连通性，以控制大小-Ramsey 数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ r, s, t $，$ r $-均匀紧致路径的 $ t $-次幂的 $ s $-色大小-Ramsey 数是否在 $ n $ 上是线性的？
• RQ2 有界度超图树的幂是否具有线性大小-Ramsey 数？
• RQ3 有界度超图的长细分是否具有线性大小-Ramsey 数？
• RQ4 大小-Ramsey 数的线性性能否从图推广至超图，而不仅限于紧致路径？

主要发现

• 对于所有固定的 $ r, s, t $，$ n $ 个顶点的 $ r $-均匀紧致路径的 $ t $-次幂的 $ s $-色大小-Ramsey 数为 $ O(n) $。
• 有界度超图树的幂的大小-Ramsey 数在顶点数上是线性的。
• 有界度超图长细分的大小-Ramsey 数在顶点数上是线性的。
• 该结果加强了此前对超图路径大小-Ramsey 数的界，解决了关于 $ \hat{r}(P_n^{(r)}) = O(n) $ 是否对 $ r \geq 4 $ 成立的开放问题。
• 该论文首次将线性大小-Ramsey 数的结果从图推广至超图，且不仅限于简单路径。
• 证明技术可推广至超图树和细分，表明其在更广泛的超图族中具有鲁棒性。